Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2018  2019 Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 20/9/2018 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. (5,0 điểm) Cho dãy số thực   nx được xác định bởi công thức:

1 1

1 1; 2 n n

n x x x x     với mọi 1,2,3... n 

Chứng minh rằng:

a) 1 , 6 n n n nx n H    với mọi 1,2,3... n  trong đó 1 1 1 2 n H n     .

b)   81 9 81 x  (kí hiệu  x là phần nguyên của số thực x ).

Bài 2. (5,0 điểm) Cho số nguyên a và đa thức ( ) P x hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1. Ta xây dựng dãy số ( ) na xác định bởi:

0a a  ,   1 n n a P a  với mọi n N  .

Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

i) 1 2 | | | | | | ... m m m a a a      ii) 1 2 , , ... m m m a a a   là dãy tuần hoàn với chu kì 2 T .

Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao cho MN song song với BC. Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho

, EP AC EC BC   , , FP AB FB BC   .

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển.

b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng trung trực của BC đi qua trung điểm của PQ.

Bài 4. (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít nhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là . M

a) Xác định giá trị nhỏ nhất của . M

b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khác nhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này.

HẾT  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh……………………………………….Số báo danh……………..…

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018  2019

Môn: TOÁN  Ngày thi thứ nhất

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Đáp án Điểm

1.a 2,5 điểm

Do

2 2 1 2 1 1 4 n n

n x x x   , 2 1 1 x  nên ta chứng minh quy nạp 2 nx n  .

Với 1 n  thì mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng đến n , tức là 2 nx n  .

Suy ra

2

1 2 1 1 1 4 n

n x n n x     đúng. Từ đó ta có n nx n  .

1

Lại có  

1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 4 4 4

n n

n n

k k n k x x x n n x x k

 



              

2 1 1 1 4 6 6 n n n n n H n H nx n H n             

.

1,5

1.b 2,5 điểm

Ta chứng minh 81 6 H  .

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: 1 ln n H n  . 1

Thật vậy, xét hàm số

   1 1 1 ln 1 ln ln 1 1 1 f x x x x x x               

0 x 

    

2 1 1 0 , 0 1 1 f x x x x x       

nên hàm số  f x giảm trên

khoảng   0;  0, 0 f x x    , hay    1 ln 1 ln * 1 x x x    

0,5

Áp dụng BĐT trên ta có :

1 1 1 1 ln2 ln1 ln3 ln2 ln81 ln80 1 ln81 6 2 81              

Từ đó : 81 81 1 81 81 81 82 6 x H       81 9 81 x  .

1

2 5 điểm

Trường hợp 1. Với deg ( ) 1 P x  thì ( ) P x x c   , c nguyên.

Suy ra 0 . na a n c   với mọi n N  hay ( ) na là cấp số cộng.

+) Nếu 0 c  , dãy ( ) na là dãy hằng, chọn 1 m thì chu kì 1 T , thỏa mãn ii)

+) Nếu 0 c  , chọn 0 | | 1 m a  , khi đó: 1 2 0 ... m m m a a a       nên

1 2 | | | | | | ... m m m a a a      thỏa mãn i)

+) Nếu 0 c  , chọn 0 | | 1 m a  , khi đó: 1 2 0 ... m m m a a a       nên

1 2 | | | | | | ... m m m a a a      , thỏa mãn i).

2