Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh THPT năm học 2017 2018 sở GD và ĐT Hòa Bình

UBND TỈNH HÒA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 15/12/2017. Thời gian làm bài 180 phút. Họ tên thí sinh:…..……………………………………………… Số báo danh:…………............ Phòng thi:……………………… Câu 1: (3,0 điểm): a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 3 ( ) 1 3 2 . f x x x = + -

b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số

( )

2

2 2 1

1

x mx y x

- + = - có đường tiệm cận đứng.

Câu 2 (5,0 điểm): a) Tính tổng các nghiệm   ; x   của phương trình:

2( os 3sin )cos cos 3 1. c x x x x sinx    

b) Giải phương trình ( ) ( ) 3 5 3 5 7.2 0. x x x + + - - =

c) Giải hệ phương trình

3 3 2

2 3 6 3 4 0 ( , ). ( 1) 1 ( 6) 6 5 12

x y x x y x y x y x y x x y

                  

Câu 3 (4,0 điểm): Cho hình chóp .S ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2, AB a = BC a  và 2 = = = = SA SB SC SD a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA . a) Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo .a b) Tính diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ADC quanh AD theo .a c) Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ) BKH .

Câu 4 (4,0 điểm):

a) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Newton của

2 2 , 0

n x x x

æ ö÷ ç - ¹ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3 1 4 2 . n n n C C A + + = b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Câu 5 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm ( ) 2; 5 K - - và đường tròn ( ) C có phương

trình ( ) ( ) 2 2 1 1 10 - + - = x y . Đường tròn ( ) 2 C tâm K cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm , A B sao

cho dây cung 2 5 = AB . Viết phương trình đường thẳng AB. Câu 6 (2,0 điểm):

a) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 + + ³ a b a b a b .

b) Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn 0 > > > x y z và 1 + + = x y z .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 3 1 1 8 2 = + + + - - P xz y x y y z .

……………… Hết …………..

UBND TỈNH HÒA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án gồm có 03trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN. Ngày thi: 15/12/2017

Câu Nội dung Điểm

1a (2đ)

Tập xác định của hàm số D = . ( ) ʹ 6 (1 ) f x x x = - 0,5

( ) ʹ 0 f x = khi 0, 1 x x = =

Xét dấu ( ) ʹf x . 1,0

Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ ( ) 1;2 và một cực tiểu (0;1) . 0,5

1b (1đ)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi có một trong các giới hạn: 1 lim +  = ¥ x y hoặc 1 lim -  = ¥ x y

0,5 Ta có: 2

1 lim 2 1 2 1  æ ö÷ ç - + = - + ÷ ç ÷ çè ø x x mx m với 1 ³- m .

Do đó với 1 <- m thì hàm số không có giới hạn khi 1  x nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Với 1 ³- m và 3 ¹ m thì

2

1 lim 2 1 2 1  æ ö÷ ç - + = - + ÷ ç ÷ çè ø x x mx m khác 0 và ( )

2

1 lim 1 0  - = x x

Khi đó 1 lim  = ¥ x y nên đường thẳng 1 = x là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

0,5 Khi 3 = m , ta có

( ) ( )

2 2

2 2 1 1 1 2 2 3 1 1 lim lim lim 1 2 3 1 1    - + - = = æ ö÷ - ç + + - ÷ ç ÷ çè ø

x x x x x x y x x x x

( ) 1 2 1 lim 2 3 1 1  + = = ¥ æ ö÷ ç + + - ÷ ç ÷ çè ø

x x

x x x

Nên đường thẳng 1 = x là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Tóm lại, giá trị m cần tìm là 1 ³- m

2a (1,5đ)

Pt đã cho os2 3sin 2 co 3sin c x x sx x     0,5

cos 2 os 3 3 x c x                   2 , 3 k x k     0,5

Vì   ; x   nên 1 2 3 2 2 0; ; 3 3 x x x       thỏa mãn 0,5 Vậy tổng các nghiệm   ; x   của phuơng trình đã cho là S = 0.

2b (1,5đ)

Đưa PT về dạng 3 5 3 5 7 2 2

x x æ ö æ ö + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø . Đặt 3 5 2

x t æ ö + ÷ ç ÷ ç = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø với 0 t > . 0,5

Ta có PT

2 2 1 7 3 5 3 5 7 7 1 0 2 2 t t t t t

æ ö   ÷ ç ÷ …