Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán THPT năm học 2017 2018 sở GD và ĐT Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH ------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

1) Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = + có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng

khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Cho hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 6 3 3 y x m x m m x m = − + − − + có đồ thị là ( ) m C ( m là tham số). Tìm

tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( ) m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3 x ;x ;x thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 1 1 6 x x x − + − + − = .

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( 2 * n N ,n ∈ ≥ ). Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S,

biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là 1 13 . Tìm n.

2) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [ ] 0 100 ; π của phương trình:

3 cos2 sin2 5sin cos 0 2cos 3 x x x x x − + − − = +

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

2

2018 log 2017 2

x x y x m   = − − −    

xác định

với mọi x thuộc [ ) 0;+∞.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,  0 60 ABC = , SA SB SC = = , 2 SD a = . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích 1 2 V ;V trong đó 1 V là

thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1

2

V V .

3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN.

Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:

( ) 3 3 2 2

2 2

3 2 2 15 10 0

5 3 3 6 13 0

x y x y y x

x y y x y

 − − − + + − =  + − + − − + = 

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b a b c d c d + + + + + +

 HẾT 

Họ và tên thí sinh:............................................................... SBD:...................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ----------------------------------------------------------------------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN

(Gồm 05 trang)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1. (4 điểm)

1. (2 điểm)

Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = + có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho

tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: lim 2; lim 2 x x y y →+∞ →−∞ = = nên y=2 là đường tiệm cận ngang

1 1 lim ; lim x x y y + − →− →− = −∞ = +∞ nên x=-1 là đường tiệm cận đứng

0,5

Giả sử điểm ( ) 0 0 0 0

2 1 ; ; 1 1 x M x C x x   − ∈ ≠−   +  

( ) 0 , 1 M TCD d x = + ; ( ) , 0

3 1 M TCN d x = +

0,5

Suy ra: ( ) ( ) 0 , , 0

3 1 2 3 1 M TCD M TCN d d x x + = + + ≥ + 0,5

Dấu bằng xảy ra khi ( )

( )

0

0

3 1

3 1

x tm

x tm

 = −   = − − 

.Các điểm M cần tìm: ( )

( )

3 1;2 3

3 1;2 3

M

M

 = − −   = − − + 

0,5

2. (2 điểm)

Cho hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 2 6 3 3 y x m x m m x m = − + − − + có đồ thị là ( ) m C ( m là tham

số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( ) m C cắt trục hoành tại ba điểm phân

biệt có hoành độ 1 2 3 x ;x ;x thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 1 1 6 x x x − + − + − = .

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 6 3 3 0 1 x m x m m x m − + − − + =

( )( ) 2 2 3 2 0 x x mx m ⇔ − − − =

0,5

3

2

x x m m x

 =  ⇔ =   − = 

Để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3

nghiệm phân biệt

3 0 6

m m m

≠   ⇔ ≠   ≠− 

0,5

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 1 2 3

0 1 1 1 6 4 5

m loai x x x m tm

=   − + − + − = ⇔ = 

Vậy 4 5 m =

1,0