Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2017 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. (5 điểm) a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy  1 n n u  thỏa mãn điều kiện

2 1 1 , 1. n n n n u u q u u n        Chứng minh rằng dãy  n u có giới hạn hữu hạn.

b) Cho dãy  1 n n v  xác định bởi 1 0 1 v   và 1 3 , 1 2 n n v n v    . Chứng minh

rằng dãy  nv có giới hạn hữu hạn và tính lim nv .

Bài 2. (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018. Bài 3. (5 điểm) Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự   , , ; a b c với , , a b c là các số nguyên dương thỏa mãn

điều kiện   3 5 7 , , 2 .3 .5 a b c  ? (Kí hiệu   , , a b c là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương , , a b c ).

Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG. Dựng tam giác XAB vuông cân tại X (X khác phía với D đối với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại Y (Y khác phía với E đối với đường thẳng AC). a) Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng. b) Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. ……………………………………….HẾT…………………………………….  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm Bài 1. (5 điểm) a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy  1 n n u  thỏa mãn điều kiện

2 1 1 , 1. n n n n u u q u u n        Chứng minh rằng dãy  n u có giới hạn

hữu hạn.

b) Cho dãy  1 n n v  xác định bởi 1 0 1 v   và 1 3 , 1 2 n n v n v    . Chứng

minh dãy  nv có giới hạn hữu hạn và tính lim nv .

a. Ta có

 

 

1 1 2 1

1 1 2 1

1 1

...

...

...

n k n n k n k n k n k n n

n k n k n k n k n n

k k n n

u u u u u u u u

q u u u u u u

q q q u u

     

    

 

       

      

    

1 điểm

 

 

1 2 2 1

1

2 1

1

2 1

...

1

1

1

k k n

n k

n

q q q q u u

q q u u q

q u u q

 





    

   

  

1 điểm

Vì lim 0 n q  nên 0 0, N     sao cho 0 , , 0 n k n u u n N k     

Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy dãy  n u có giới hạn hữu hạn. 1 điểm

b.

Ta có  nv là dãy số dương.

    

1 2 1 1 1 1

3 3 3 3 2 2 2 2 4

n n n n n n n n n n

v v v v v v v v v v

     

           .

1 điểm

Theo câu a), dãy  nv hội tụ và tính được lim 1 nv . 1 điểm

Bài 2. (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018.

Nhận xét n>3, 53≡-1 (mod 7) và ord7(5)=6 1 điểm

Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy ra 5n=53.5n-3≡-1.5n-3≡-1(mod 7) hay 5n-3≡1 (mod 7) suy ra 6|n-3 hay n=6k+3. 1 điểm

Ta tìm k để cho 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1+1)൒ 2018. Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1+1)=v7(53+1)+v7(2k+1)=1+v7(2k+1)

1 điểm Hay v7(2k+1)൒ 2017 suy ra 2k+1=7m.t với m,t là các số nguyên dương m൒2017 và t là số lẻ.

1 điểm

Khi đó n=3.7m.t nên số nguyên dương n nhỏ nhất là n=3.72017. 1 điểm

Bài 3. (5 điểm) Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự   , , a b c , với , , a b c là các số nguyên

dương thỏa mãn điều kiện   3 5 7 , , 2 .3 .5 a b c  ? (kí hiệu   , , a b c là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương , , a b c ).

Đặt 2 2 3 3 3 1 2 1 1 2 3 5 , 2 3 5 , 2 3 5 . a b c a a b c b c a b c   

1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 , , 3, 0 , , 5, 0 , , 7. a b c a b c a b c      

Ta có   3 5 7 , , 2 3 5 a b c  khi và chỉ khi       1 1 1 2 2 2 3 3 3 ax , , 3, ax , , 5, ax , , 7. m a b c m a b c m a b c   

1 điểm

Ta đếm tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm   1 1 1 , , a b c sao

cho   1 1 1 max , , 3. a b c  Đặt:

    1 1 1 1 1 1 , , | 3,0 , 3 A a b c a b c        

    1 1 1 1 1 …