Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm học 2017 2018 trường THPT Đan Phượng Hà Nội

Họ tên thí sinh ….…………................................ Số báo danh …………

Câu 1 (5.0 điểm)

1. Cho hàm số: 1 2( 1) x y x    (C)

Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0. 2. Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x – 2 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại một điểm. Câu 2 (4.0 điểm)

1.Giải hệ phương trình sau :  

 

2 2 2 6 6

2 2 1. 4 5

x x y

x y y x x

            

( x R  ).

2.Giải phương trình sau:

2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x     ( x R  ).

Câu 3 (3.0 điểm)Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn     2 2 2 5 9 2 x y z xy yz zx     

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

3 2 2 1 x P y z x y z     

Câu 4 (3.0 điểm)

1.Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) xác định bởi :

2 1

1

3 1, 1,

2

n n u u n n n N

u

          .

2. Tính u1 + u2+…. + u2017.

Câu 5 (5.0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, D là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho CD = CA. M là một điểm

trên cạnh AB sao cho   1 BDM ACD 2  , N là giao điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC. Chứng

minh DM = DN.

2. Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a, góc BAC = 1200. Điểm S thay đổi trong không gian nhưng luôn

nằm về 1 phía của mặt phẳng (ABC) và AS= a, góc SAB= 600. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

a) Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng cố định.

b) Chứng minh rằng khi độ dài SH lớn nhất thì hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và khi đó

tính độ dài SC. …………….Hết………………..

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

LỚP 12 – Năm học 2017-2018

Thời gian làm bài: 180 phút.

(Đề thi gồm 01 trang)

Đáp án bài thi chọn HSG Toán 12 (2017-2018)

Câu 1( 5.0 điểm):

Câu Nội dung Điểm 1 .1 Gọi M( 0 0 0

1 ; 2( 1) x x x   ) ( ) C  là điểm cần tìm (x0 -1)

Gọi  tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình.

: ' 0 0 0 0

1 ( )( ) 2( 1) x y f x x x x       

0 0 2 0 0

1 1 ( ) 2( 1) 1

x y x x x x

      

1.0đ

Gọi A = ox A(

2 0 0 2 1 2 x x    ;0) B = oy B(0;

2 0 0 2 0

2 1 2( 1) x x x    ).

Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là:

G(

2 2 0 0 0 0 2 0

2 1 2 1 ; 6 6( 1) x x x x x             .

1.0đ

Do G đường thẳng:4x + y = 0

2 2 0 0 0 0 2 0

2 1 2 1 4. 0 6 6( 1) x x x x x        

  

2 0

1 4 1 x   (vì A, B O nên 2 0 0 2 1 0 x x   )

0 0

0 0

1 1 1 2 2 1 3 1 2 2

x x

x x

                 

Với 0 1 1 3 ( ; ) 2 2 2 x M     ; với 0 3 3 5 ( ; ) 2 2 2 x M    .

1.0đ

1.2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox

  3 x 3 m 1 x 2 0     (1)

3 x 3x 2 3m x     (2)

( vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) )

0.5đ

Xét hàm số  

3 x 3x 2 f x , x \ 0 x     .



3

2 2x 2 f ' x ; f '(x) 0 x 1 x     

0.5đ Bảng biến thiên: x  1  0 

 f ' x  0 + +

 f x  

0





0.5đ