Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5 điểm)

a) Cho hàm số     3 2 1 2 1 6 3 3 3       y x m x m x .

Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng   4; ?

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2 4 3    x x m .

Bài 2. (3 điểm)

Cho các số dương , ,z x y . Chứng minh rằng:

2 2 2

2               x y z x y z xy yz zx y z z x x y x y y z z x .

Bài 3. (4 điểm)

a) Tìm lim n u với 1 3 5 2 1 . . ... 2 4 6 2 2    n n u n .

b) Cho dãy số   nv định bởi 1 1  v và

2

1 1 1

    n n n

v v v với mọi 1  n .

Tìm công thức tính nv theo .n

Bài 4. (4 điểm)

Trong một buổi tiệc có 10 chàng trai, mỗi chàng trai dẫn theo một cô gái. a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo ? b) Ký hiệu các cô gái là 1 2 10 , ,..., G G G . Xếp hết 20 người ngồi thành một hàng ngang sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: 1. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là 1 2 10 , ,..., G G G . 2. Giữa 1 G và 2 G có ít nhất 2 chàng trai. 3. Giữa 8 G và 9 G có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 3 chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy ? Bài 5. (4 điểm)

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi 1 1 1 , , A B C là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng , , AI BI CI . Chứng minh rằng các đường thẳng 1 1 1 , , AA BB CC đồng quy. -------------- HẾT ------------- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH - Năm học 2016 – 2017 LỜI GIẢI TÓM TẮT ĐIỂM Bài 1. (5 điểm) a) TXĐ: D =  0,25     / 2 2 1 6 3      y x m x m 0,5

Hàm số đồng biến trên khoảng   4; khi và chỉ khi

    2 2 1 6 3 0 4       x m x m x

0,5

5 2    m 0,75

b) Vẽ đúng đồ thị (C): 2 4 3    y x x 0,75

Đường thẳng  y m luôn vuông góc với Oy. 0,25

Dựa vào đồ thị, ta có: PT vô nghiệm khi và chỉ khi 0  m 0,5 PT có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0  m hoặc 1  m 0,5 PT có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1  m 0,5 PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 1   m 0,5 Bài 2. (3 điểm) Ta có:

2

4     x y z x y z ,

2

4     y z x y z x ,

2

4     z x y z x y

Nên:

2 2 2

2         x y z x y z y z z x x y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   x y z Ta có:

2 2    x y xy x y , 2 2    y z yz y z , 2 2    z x zx z x

Nên: 2         x y z xy yz zx x y y z z x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   x y z

0,25 x 3

0,5

0,25

0,25 x 3

0,5

0,25

Bài 3. (4 điểm)

a) Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 3 5 2 1 1 . . ... 1 2 4 6 2 2 3 4      n n n n 1,0

Mà 1 lim 0 3 4   n nên 1 3 5 2 1 lim . . ... 0 2 4 6 2 2    n n

0,5 x 2

b) Dự đoán 1 tan 1. 2    n n v n  0,5

Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp. 1,5

Bài 4. (4 điểm)