Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

I). SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN.

1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác.

AB AC BC AB BC

Chú ý rằng:

a). Với 3 điểm , , A B C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC . Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi , , A B C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm , A C .

b) Với 3 điểm , , A B C bất kỳ ta luôn có: AB AC BC . Dấu bằng xảy

ra khi và chỉ khi , , A B C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm , A C .

c) Cho hai điểm , A B nằm về một phía đường thẳng ( ) d . Điểm M chuyển

động trên đường thẳng ( ) d . Gọi ' A là điểm đối xứng với A qua ( ) d . Ta có

kết quả sau:

+ ' ' MA MB MA MB A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là

giao điểm cuả ' A B và đường thẳng ( ) d .( M trùng với 0 M )

M1

M0

A'

B

A

M

(d)

THCS.TOANMATH.com

+ MA MB AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả

AB và đường thẳng ( ) d ( M trùng với 1 M ).

d) Cho hai điểm , A B nằm về hai phía đường thẳng ( ) d . Điểm M chuyển

động trên đường thẳng ( ) d . Gọi ' A là điểm đối xứng với A qua ( ) d . Ta có

kết quả sau:

+ MA MB AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả

AB và đường thẳng ( ) d .( M trùng với 0 M )

+ ' ' MA MB MA MB A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là

giao điểm cuả ' A B và đường thẳng ( ) d ( M trùng với 1 M ).

e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên.

Trong hình vẽ: AH AB

M1

M0

A'

B

A

M

(d)

B H

A

THCS.TOANMATH.com

2) Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất

3) Cho đường tròn ( ; ) O R và một điểm A . Đường thẳng AO cắt đường

tròn tại hai điểm 1 2 , M M . Giả sử 1 2 AM AM . Khi đó với mọi điểm M

nằm trên đường tròn ta luôn có: 1 2 AM AM AM

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác . Chứng minh rằng:

a) MB MC AB AC

b) 1

2 AB BC CA MA MB MC AB BC CA

c) BM MN NC AB AC trong đó điểm N nằm trong tam giác sao cho MN cắt hai cạnh , AB AC

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng BM cắt AC ở P .

Áp dụng BĐT(1) ta có:

MB MC MB MP PC

BP PC AB AP PC AB AC

b) Theo trên ta có:

; ; BC MB MC AB AC CA MC MA AB BC

AB MA MB AC BC . Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh.

N M

F

P

E

C B

A

THCS.TOANMATH.com

c) Áp dụng câu 1) ta có:

BM MN NC BE EM MN NF FC

BE EF FC BE EA AF FC AB AC .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và 3 trung tuyến , , AM BN CP . Chứng minh

rằng:

a) 2 2 AB AC BC AB AC AM

b)

3

4

AB BC CA

AM BN CP AB BC CA

c) Giả sử AB AC . Gọi , AD AM theo thứ tự là đường phân giác,

đường trung tuyến của tam giác ABC . Chứng minh rằng:

2 2 AB AC BC AB AC AD AM

Hướng dẫn giải:

a). + Xét các tam giác , MAB MAC ta có:

, AM AB BM AM AC MC

Suy ra 2 ( ) AM AB AC MC MC

2AM AB AC BC

+ Gọi D là điểm đối xứng với A qua M thì ABDC là hình bình hành nên

AB CD và 2 AD AM . Trong tam giác ACD ta có:

2 AD AC CD AM AB AC

Như vậy: 2 2 AB AC BC AB AC AM .

D

M

C

B

A

THCS.TOANMATH.com

b). Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) Cho 3 đường trung tuyến , , AM BN CP

ta có: 2 2 AB AC BC AB AC AM ,

2 2 BC AB AC AC BC BN ,

2 2 BC AC AB AC BC CP . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều

ta có:

3

4

AB BC CA

AM BN CP AB BC CA.

c). Trong tam giác , ABD ADC có ; AB AD BD

AC AD DC . Cộng theo từng vế hai BĐT

trên được: 2 AB AC AD BC .

2 AB AC BC AD

Kết quả này vẫn đúng với D là điểm

bất kỳ nằm bên trong đoạn BC .

Dựng AH BC . Với AB AC thì AM AD. Với AB AC thì BH CH

BM BH M thuộc đoạn BH .

Hơn nữa ADB ADC ADB tù. Do đó D thuộc đoạn BH .

Lấy điểm P trên AB sao cho AP AC ADP ADC (c.g.c)

, DP DC APD ACD .

P

H D M

C B

A