Chuyên đề quỹ tích ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

QUỸ TÍCH

PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

I). Định nghĩa:

Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất

A.

II). Phương pháp giải toán:

Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm cách giải:

+ Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên quan đến bài toán

+ Xác định các điều kiện của điểm M

+ Dự đoán tập hợp điểm.

Bước 2: Trình bày lời giải:

A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H

B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh

điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có)

C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B. Ta chứng minh điểm M

thoả mãn các tính chất A

D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B. (Nêu rõ hình dạng và

cách dựng hình B)

THCS.TOANMATH.com

III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

I). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm , A B

cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox .

B là điểm chuyển động trên tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M của AB

a) Phần thuận:

+ Xét tam giác vuông OAB ta có :

OM MA MB = = nên

tam giác OAM cân tại M . Mặt khác OA cố định

suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn

thẳng OA.

b) Giới hạn:

+ Khi B trùng với O thì 1 M M  là trung điểm OA

+ Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia 1 M z

c) Phần đảo .

Lấy M bất kỳ thuộc tia 1 M z , AM cắt Oy tại B . Suy ra

MO MA MAO MOA =  = . Mặt khác OBM BOM = (cùng phụ với góc

MAO MOA = ) MO MB  = . Suy ra MO MA MB = = . Hay M là trung điểm của AB .

z

M1

y

x

B

A

M

O

THCS.TOANMATH.com

d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực

của đoạn OA.

II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC

Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai

cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy .

z M

O x

y

Ví dụ 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định . B là điểm chuyển

động trên tia Oy . Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông

cân tại C .

Giải:

a) Phần thuận:

Dựng , CH CK lần lượt vuông góc với , Ox Oy

thì vCAH vCBK CH CK  =   = .

Mặt khác góc xOy cố định

suy ra C tia phân giác Oz của góc xOy

b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh. c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy

C1

H A

K

B

C

z

x

y

O

THCS.TOANMATH.com

III). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau:

1. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố

định , A B là đường thẳng AB

2. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định

A tạo với đường thẳng ( ) d một góc không đổi

3. Tập hợp các điểm M cách đường thẳng ( ) d cho trước một đoạn

không đổi h là các đường thẳng song song với ( ) d và cách đường

thẳng ( ) d một khoảng bằng h

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các điểm M sao cho

0 MAB

MAC

S a S =  cho trước.

Hướng dẫn:

Phần thuận:

Gọi D là giao điểm của AM và BC .

Vẽ , BH CK lần lượt vuông góc

với AM , , H K AM 

Ta có: MAB ABD

MAC ACD

S S BH DB a S CK S DC = = = = .

Suy ra 1 1 1 BD a a DB BC D CD a a + + =  =  + là điểm cố định .

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng ( ) d cố định đi qua , A D .

Phần còn lại dành cho học sinh.

K

H

D

M

C B

A