Chuyên đề tiếp tuyến, cát tuyến ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

CHÙM BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN

Những tính chất cần nhớ:

1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCDcủa một đường tròn cắt nhau tại M thì = MA.MB MC.MD

2). Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M và

= MA.MB MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.

3). Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì

= = − 2 2 2 MC MA.MB MO R

O

D C

B

A

M

O

D

C

B

A

M

B

A

C M

THCS.TOANMATH.com

4). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát tuyến

KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K,A,H,O,B nằm trên một đường tròn.

5). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát tuyến

KCD thì = AC BC AD BD

Ta có: =    = AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA #

O K

H

D

C

B

A

A

B

C

D

K O

THCS.TOANMATH.com

Tương tự ta cũng có: = BC KC BD KB mà = KA KB nên suy ra = AC BC AD BD

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: = AC BC AD BD

và = CA DA CB DB

NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

Bài 1: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây DI qua M .

Chứng minh

a) KIOD là tứ giác nội tiếp

b) KO là phân giác của góc IKD

Giải:

a) Để chứng minh KIOD là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất

khó khăn.

Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến.

Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và  = AB ID M nên ta có: = MA.MB MI.MD

I

M O K

D

C

B

A

THCS.TOANMATH.com

Mặt khác KAOB là tứ giác nội tiếp nên = MA.MB MO.MK

Từ đó suy ra = MO.MK MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp.

a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD . Ta có

= =  = IO OD R OKI OKD

suy ra KO là phân giác của góc IKD

Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB

cát tuyến KCD đến (O) . Gọi M là giao điểm OK và AB. Chứng minh

a) CMOD là tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD

Giải:

a) Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: = = − 2 2 2 KB KC.KD KO R

Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và ⊥ BM KO nên = 2 KB KM.KO suy ra

= KC.KD KM.KO hay CMOD là tứ giác nội tiếp

b) CMOD là tứ giác nội tiếp nên = = KMC ODC,OMD OCD.

Mặt khác ta có: =  = ODC OCD KMC OMD

h2 h1

O

B

A

D C

M K O K

D

C

B

A

M

THCS.TOANMATH.com

Trường hợp 1:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)

Hai góc AMC,AMD có 2 góc phụ với nó tương ứng là KMC,ODC mà

= KMC ODC nên = AMC AMD hay MA là tia phân giác của góc CMD

Trường hợp 2:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương tự ta cũng

có MB là tia phân giác của góc CMD

Suy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD .

Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB

cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD . Vẽ dây AF đi qua H .

Chứng minh BF / /CD

Giải:

Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh = AHK AFB

Ta có = 1 AFB AOB 2 ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB).

F

A

B

C

D H

K O

THCS.TOANMATH.com

Mặt khác KO là phân giác góc AOB nên

= =  = 1 AOK BOK AOB AFB AOK 2 . Vì A,K,B,O,H cùng nằm trên đường

tròn đường kính KO nên =  =  AHK AOK AFB AHK BF/ /CD

Bài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA,KB

cát tuyến KCD đến (O) . Gọi H là trung điểm CD. Đường thẳng qua H

song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh ⊥ CI OB

Giải:

Ta có  = HI / /BD CHI CDB. Mặt khác = CAB CDB cùng chắn cung CB

nên suy ra = CHI CAB hay AHIC là tứ giác nội tiếp. Do đó

=  = IAH ICH BAH ICH. Mặt khác ta có A,K,B,O,H cùng nằm trên đường

tròn đường kính KO nên = BAH BKH

Từ đó suy ra =  ICH BKH CI / /KB. Mà ⊥  ⊥ KB OB CI OB

Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề ⊥ OB KB.Thay vì chứng minh

⊥ CI OB ta chứng minh CI / /KB

Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI . Gọi I là điểm đối xứng với A

I

F

A

B

C

D H

K O