Chuyên đề phương trình đại số ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:

1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 . 0 0

f x F x f x g x g x

=  = ⇔ = ⇔ = 

Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:

Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: 2 2 3 3 0, 0,... a b a b − = − =

Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a = là một nghiệm của

phương trình ( ) 0 f x = thì ta luôn có sự phân tích: ( ) ( ) ( ) f x x a g x = − . Để

dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

Chú ý:

Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.

Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:

• Phương trình dạng: 4 2 x ax bx c = + +

Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: 2 2 2mx m + khi đó phương trình trở thành: 2 2 2 2 ( ) (2 ) x m m a x bx c m + = + + + +

Ta mong muốn vế phải có dạng: 2 ( ) Ax B +

2 2 2 0

4(2 )( ) 0

m a m b m a c m

+ >  ⇔ ⇒ ∆= − + + = 

THCS.TOANMATH.com

• Phương trình dạng: 4 3 2 x ax bx cx d + = + +

Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:

2 2 2 a x x m   + +    

Bằng cách khai triển biểu thức:

2 2 2 4 3 2 2 2 2 4 a a x x m x ax m x amx m     + + = + + + + +        

. Ta thấy cần thêm

vào hai vế một lượng:

2 2 2 2 4 a m x amx m   + + +    

khi đó phương trình trở

thành:

2 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 a a x x m m b x am c x m d     + + = + + + + + +        

Bây giờ ta cần:

( )

2

2 2 2

2 0 4 ? ( ) 4 2 0 4 VP

a m b m a am c m b m d

 + + >  ⇒ =    ∆ = + − + + + =      

Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1)

Giải các phương trình:

a) 4 2 10 20 0 x x x − − + = . b) 4 2 22 8 77 0 x x x − − + = c) 4 3 2 6 8 2 1 0 x x x x − + + −= . d) 4 3 2 2 5 6 3 0 x x x x + − + − = .

Lời giải:

THCS.TOANMATH.com

a) 4 2 4 2 10 20 0 10 20 x x x x x x − − + = ⇔ = + −

Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2 2 2mx m +

Khi đó phương trình trở thành: 4 2 2 2 2 2 (10 2 ) 20 x mx m m x x m + + = + + + −

Ta có 2 9 1 4( 20)(10 2 ) 0 2 VP m m m ∆ = − − + = ⇔ = − . Ta viết lại phương trình

thành:

2 2 2 4 2 2 2 9 1 9 1 9 0 2 4 2 2 x x x x x x       − + = + + ⇔ − − + =            

2 2 1 17 ( 5)( 4) 0 2 x x x x x −± ⇔ − − + − = ⇒ = . và 1 21 2 x ± = .

b) 4 2 4 2 22 8 77 0 22 8 77 x x x x x x − − + = ⇔ = + −

Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2 2 2mx m +

Khi đó phương trình trở thành:

4 2 2 2 2 2 (22 2 ) 8 77 x mx m m x x m + + = + + + − .

Ta có 2 1 4(22 2 )( 77) 0 9 VP m m m ∆ = − + − = ⇔ = −.

Ta viết lại phương trình thành:

( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 18 81 4 8 4 9 2 2 0 x x x x x x − + = + + ⇔ − − + =

2 2 1 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0 1 2 3

x x x x x x

= −± ⇔ + − − − = ⇒ = ± 

c) Phương trình có dạng:

4 3 2 4 3 2 6 8 2 1 0 6 8 2 1 x x x x x x x x − + + −= ⇔ − = − − +

Ta tạo ra vế trái dạng: 2 2 4 3 2 2 ( 3 ) 6 (9 2 ) 6 x x m x x m x mx m − + = − + + − +