Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất

cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về

chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu

thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách

giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để

giải phương trình nghiệm nguyên là:

• Phương pháp dùng tính chất chia hết

• Phương pháp xét số dư từng vế

• Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

• Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

• Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

 Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên ( ) 3x 17y 159 1 + =

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho

3 nên 17y 3 y 3 ⇒   (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt ( ) y 3t t Z = ∈ thay vào phương trình ta được 3x 17.3t 159 x 17t 53. + = ⇔ + =

CHỦ ĐỀ

6

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

TỦ SÁCH CẤP 2| 138

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

Do đó: ( ) x 53 17t t Z y 3t

= − ∈  = 

. Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t là số nguyên tùy ý.

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x 13y 156 + = (1).

Hướng dẫn giải

- Phương pháp 1: Ta có 13y 13  và 156 13  nên 2x 13 x 13 ⇒   (vì (2,3) = 1).

Đặt x 13k (k Z) = ∈ thay vào (1) ta được: y 2k 12 = − +

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: x 13k (k Z). y 2k 12

= ∈  = − + 

- Phương pháp 2: Từ (1) 156 13y 13y x 78 2 2 − ⇒ = = − ,

Để 13y x Z Z 2 ∈ ⇒ ∈ Mà (13,2) = 1 y 2 ⇒  Đặt y 2t(t Z) x 78 13t = ∈ ⇒ = −

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: x 78 13t(t Z). y 2t

= − ∈  = − 

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23x 53y 109 + = .

Hướng dẫn giải

Ta có 109 53y 23(4 2y) 17 7y 17 7y x 4 2y 23 23 23 − − + − − = = = − +

Ta phải biến đổi tiếp phân số 17 7y 23 − để sao cho hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

17 7y 17 7y 46 46 7(9 y) 46 7(9 y) 2 23 23 23 23 − − + − − − − = = = −+

Từ đó 7(9 y) x 2 2y 23 − = − + , Để 9 y x Z Z 23 − ∈ ⇒ ∈ , do (7,23) = 1.

Đặt − = ∈ ⇒ = − 9 y 23t (t Z) y 9 23t

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: x 9 23t (t Z). y 53t 16

= − ∈  = −  Chú ý: Phương trình có dạng ax by c + = với a,b,c là các số nguyên. * Phương pháp giải:

.139 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

| CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

- Rút gọn phương trình chú ý đến tính chia hết của các ẩn.

- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.

- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x.

- Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức chứa x bằng một số nguyên 1t , ta được một

phương trình bậc nhất hai ẩn y và 1t .

- Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa

thức với các hệ số nguyên.

Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ( ) 11x 18y 120 1 + =

Hướng dẫn giải

Ta thấy 11 6 x nên 6 x. Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta được:

11k + 3y = 20

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: 20 11 3 k y − =

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: 1 7 4 3 k y k − = − +

Lại đặt 1 3 k − = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó:

7 4(3 1) 3 11 6 6(3 1) 18 6 y t t t x k t t = − + + = − = = + = +

Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.

Vậy các nghiệm nguyên của (10 được biểu thị bởi công thức:

18 6

3 11

x t

y t

= +   = − 

với t là số nguyên tùy ý

Chú ý: a) Nếu đề bài …