Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán trường chuyên Lê Quý Đôn Bình Định (Chuyên Toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 - 2018 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn: TOÁN (Chuyên toán) Ngày thi: 04/06/2017 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thứ c A =

2 x 2 x 2 x 2x 1 x 1 2 x 2 x 1

                a) Tı̀m điều kiê ̣n của x để biểu thứ c A có nghı̃a. Rút gọn A b) Tı̀m x để A  0 c) Tı̀m giá tri ̣ lớn nhất của A.

Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trı̀nh sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0     

2) Chứ ng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thı̀ 2 b 4ac  không là số chı́nh phương.

Bài 3: (1,0 điểm) Cho đa thứ c f(x) = 2 x – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m là tham số). Bằng cách đă ̣t x = t + 2. Tı́nh f(x) theo t và tı̀m điều kiê ̣n của m để phương trı̀nh f(x) = 0 có hai nghiê ̣m lớn hơn 2.

Bài 4: (4,0 điểm) 1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kı́nh AB, trên tiếp tuyến ta ̣i A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoa ̣n OB (K khá c O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) ta ̣i C và D (C nằm giữa P và D), H là trung điểm của CD. a) Chứ ng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn. b) Kẻ DI song song với PO, điểm I thuộc AB, chứ ng minh:   PDI = BAH

c) Chứng minh đẳng thứ c 2 PA = PC.PD d) BC cắt OP ta ̣i J, chứ ng minh AJ song song với DB.

2. Cho tam giác ABC vuông ta ̣i A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM  BC, kẻ IN  AC, IK  AB. Tı̀m vi ̣ trı́ của I sao cho tổng 2 2 2 IM + IN + IK nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1.

Chứng minh rằng:       3 3 3

3 3 3 x 1 y y 1 z z 1 x 0 y z x

     

Bài 1: a) Điều kiê ̣n để A có nghı̃a là x  0 và x  1

A =

2 x 2 x 2 x 2x 1 x 1 2 x 2 x 1

                =

    

 

2

2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 1 x 1

                

=   

  

  

  

 

2

2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1

                   

=

  

      

2 2 x x 1 x 1 x 1 x x 2 x x 2. 2 x 1 x 1 2 x 1

             = – x + x

b) A  0  – x + x  0  x – x  0  x   x 1   0  0  x  1

0  x  1. Kết hợp với điều kiê ̣n ban đầu x  0 và x  1. Ta được: 0  x < 1

c) A = – x + x =

2 1 1 1 x 2 4 4           với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi 1 x 2  = 0  1 1 x x 2 4    (TMĐK x  0 và x  1)

Vâ ̣y GTLN của A là 1 4 khi x = 1 4

Bài 2: 1) x = 0 không phải là nghiê ̣m của phương trı̀nh nên x  0. Do đó chia cả hai vế phương trı̀nh cho

2 x  0, ta được: 2 2 1 1 4x 2 2x 20 0 x x                  (1)

Đă ̣t: y = 1 2x x  2 2 2 1 4x y 4 x     .

Do đó PT (1) trở thành: 2 y 2y 24 0     y = – 6 ; y = 4

Với y = – 6 ta có: 1 2x x  = – 6  2 1 2 3 7 3 7 2x 6x 1 0 x ; x 2 2        

Với y = 4 ta có: 1 2x x  = 4  2 1 2 2 2 2 2 2x 4x 1 0 x ; x 2 2        

Vâ ̣y phương trı̀nh đã cho có tâ ̣p nghiê ̣m là: S = 3 7 3 7 2 2 2 2 ; ; ; 2 2 2 2

             

Cách 2: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0        4 3 2 2 4x 4x x 21x 2x 1 0       

    2 2 2 2 2x x 2 2x x 1 25x        

2 2 2 2x x 1 25x    





2 2

2 2 2x 4x 1 0 1 2x x 1 5x

2x x 1 5x 2x 6x 1 0 2

                   

PT (1): 2 1 2 2 2 2 2 2x 4x 1 0 x ; x 2 2        

PT (2): 2 1 2 3 7 3 7 2x 6x 1 0 x ; x 2 2        

Vâ ̣y phương trı̀nh đã cho có tâ ̣p nghiê ̣m là: S = 3 7 3 7 2 2 2 2 ; ; ; 2 2 2 2

             

2) Chứ ng minh bằng phản chứ ng. Giả sử 2 b 4ac  là số chı́nh phương   2 m m N 

Xét 4a.abc = 4a(100a + 10b + c) = 2 400a + 40ab + 4ac =     2 2 20a + b b 4ac  