Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (vòng 2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( vòng 2) Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu I. (3.5 điểm )

1) Giải hệ phương trình.

2 2 3

3

x y x y

x y xy

       

2) Với a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 1 1 1 2(1 )(1 )

a b ab a b a b

      

Câu II. (2.5 điểm ) 1)Giả sử p, q là hai số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức: 2 ( 1) ( 1) p p q q    (*) a)Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương Ksao cho: p-1=kq; q2-1=kp b)Tìm tất cả các số nguyên tố p; q thỏa mãn đẳng thức (*) 2) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+abc=2, tìm giá trị lớn nhấtt của biểu thức

2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b c M a a b b c c            

Câu III. ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC nhọn với AB<AC. E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh CA, AB. Trung trực của đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử có điểm P nằm trong  EAF và nằm ngoài tam giác AEF sao cho   EF PEC D  và   PFB DFE  . PA Cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tại Q khác P. a)Chứng minh rằng    EQF BAC EDF   . b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt các đường thẳng CA, AB lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng 4 điểmC, M, B, N cùng nằm trên một đường tròn . Gọi đường tròn này là đường tròn(K). c)Chứng minh rằng đường tròn (K). Tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Câu IV. (1 điểm ) Cho n là số nguyên dương, n5. Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi ( hai miền bất kỳ kgoong có điểm trong chung). a. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với n=2018, k=672. b. Với n=2017. k=672 ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích. Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.