Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu I. (3.5 điểm )

1) Giải hệ phương trình.

2 2

2 3 1

2

x y xy

x x y y

      

2) Giải phương trình :      2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x x      

Câu II. (2.5 điểm ) 1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 2 2 12 26 15 4617 x xy y    2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức

  3 3 1 1 1 M a b a b b a ab            

Câu III. ( 3 điểm )

Cho hình thoi ABCD có  0 90 BAD  . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID. a)Chứng minh rằng   CBK ABI  . b)Chứng minh rằng KC KB  . c)Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I ,L cùng nằm trên một đường tròn. Câu IV. (1 điểm ) Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành 1 2 3 , , ,....,an a a a mà khin chia các số 1 1 2 1 2 3 1 2 ,a ,a ,....,a ...an a a a a a cho n ta được các số dư đôi một khác nhau Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÁP ÁN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( Cho tất cả các thí sinh) Câu I. (3.5 điểm )

1) Giải hệ phương trình.

2 2

2 3 1

2

x y xy

x x y y

      

2) Giải phương trình :      2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x x      

hướng dẫn giải 1)Giải hệ phương trình.

2 2

2 3 1(1)

2 (2)

x y xy

x x y y

      

Từ phương trình (1) suy ra ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta được 2 2 3

3 2 3

3 2 3 3

2 2 2

2 2

2 2

( 1) 2

2 0

0

( )( ) ( ) 0

( )( 2 ) 0

0 (4) 2 0 (5)

x x x y y

x x xy x y

x xy y y

x y x xy y y x y

x y x xy y

x y x xy y

   

     

    

      

    

       

từ (4) ta có x=y Thay vào 1 ta có :

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x y x x x x x x y                 

từ (5) ta có :

2 2 2 2 2

2 2

1 1 7 2 0 2 . 0 2 4 4 1 0 1 7 ( ) 0 0 2 2 4 0

x xy y x x y y y

x y x y y x y y

       

              

với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí) suy ra x=y=0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Vậy hệ phương trình đã cho có S=  (1;1);( 1; 1)  2) Giải phương trình: ĐKXĐ: 1 1 x  

    

 

 

2 2 1 1 1 1 2 1

2 1 1 2 1 2 1 ( 1) 1 (1 ) 1

2 1 1 ( 1) 1 1(2 1 ) 2 1

( 1)(2 1 1 ) 2 1 2 1

( 1)( 1 1 ) 2 1 (*)

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

     

          

         

      

     

đặt: 1 0

1 0

x a

x b

        

Khi đó (*) trở thành: 2 3 2 ( ) 2 2 a a b b a a b b      (1) mặt khác ta có 2 2 2 a b   (2)

Xét với b=0 ta có

3

2 2 0 0 ( ) 2 2

a a ktm a a

          

Xét với 0 b  Từ (2) ta có: 2 3 2 a b b b   (3) Từ (1) Và (3) suy ra : 3 2 2 3 3 3 0 a a b a b b a b a b         Khi đó từ (2) suy ra: 2a2=2 suy ra a=1 ( vì a 0  ) Do đó a=b=1 1 1 1 0( ) x x x tm       vậy phương trình có nghiệm x=0 Câu II. (2.5 điểm ) 1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 2 2 12 26 15 4617 x xy y    2) Với a, b là các số thực dương , tìm giá trị lớn nhát của biểu thức

  2 2 1 1 1 M a b a b b a ab            

Hướng dẫn giải 1)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 2 2 12 26 15 4617 x xy y   

Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 thì 2 2 ( , ) a p a b p a b Z b p      

  

(Tự chứng minh) Ta có:

2 2 2 2 5

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

12 26 15 4617 12 26 15 3 .19

12 26 15 19

12 12 15 38 19

3(4 4 5 ) 19

4 4 5 19

(4 4 ) 4 (2 ) (2 ) 19

x xy y x xy y

x xy y

x xy y xy

x xy y

x xy y

x xy y y x y y

 …