Đề thi vào chuyên môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Hà Nội (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình   2 2 3 5 3 5. x x x x    

b) Cho hai số thực , , a b c thỏa mãn 2 0 a b c   và 2 0. ab bc ca    Chứng minh rằng . a b c  

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Chứng minh với mọi số nguyên dương ,n số 11 7 2 1 n n n A     chia hết cho 15.

b) Cho hai số nguyên dương m và n thỏa mãn 11 0. m

n   Chứng minh rằng:   3 11 3 11 . m

n mn

  

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Cho đa thức ( ) P x với hệ số thực thỏa mãn  1 3 P  và  3 7. P  Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức

( ) P x cho đa thức 2 4 3 x x   .

b) Với , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn 4, a b c abc     tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

. P ab bc ca   

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và . AB AC  Gọi  I là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và K là tâm

đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác . ABC Gọi , , D E F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ

điểm I đến các đường thẳng , , . BC CA AB Đường thẳng AD cắt đường tròn  I tại hai điểm phân biệt D và

. M Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại . N

a) Chứng minh rằng tam giác MFD đồng dạng với tam giác . BNK

b) Gọi P là giao điểm của BI và FD . Chứng minh góc BMF bằng góc . DMP

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC đi qua trung điểm của đoạn thẳng . KN

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho một bảng ô vuông kích thước 6 7  (6 hàng, 7 cột) được tạo bởi các ô vuông kích thước 1 1 . Mỗi ô vuông kích thước 1 1  được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho trong mọi bảng ô vuông kích thước 2 3  hoặc 3 2,  có ít nhất hai ô vuông kích thước 1 1  được tô màu đen có chung cạnh. Gọi m là số ô vuông kích thước 1 1  được tô màu đen trong bảng.

a) Chỉ ra một cách tô sao cho 20. m 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của . m

-------------------- HẾT --------------------

-------------

Câu 1.

a) Phương trình đã cho luôn xác định với mọi . x Đặt 2 5 ( 0), a x a    khi đó phương trình có thể viết

lại thành 2 3 ( 3) , a x x a    hay ( )( 3) 0. a x a   

Do 2 2 5 a x x x x      nên từ đây, ta có 3 a  hay 2 5 3. x  

Từ đó, ta có 2 x  (thỏa mãn) hoặc 2 x  (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 x  và 2. x 

b) Từ giả thiết thứ nhất và thứ hai, ta có:  

2 2 2 . ab c a b c    Do đó 2. ab c 

Suy ra:       2 2 2 2 2 0 1 . a c b c ab c a b c c c c          

Mà:        2 2 2 2 4 2 4 0 2 . a b a b ab c c       

Từ  1 và  2 , suy ra: . a b c  

Câu 2.

a) Với mọi số nguyên ,a b và số tự nhiên k ta có:   . k k a b a b   

Suy ra:   k k a b a b M    với M là số nguyên.

Ta có:      11 2 7 1 9 6 3 3 2 3 n n n n A C D C D          với , C D là số nguyên.

Lại có:      11 1 7 2 10 5 5 2 5 n n n n A C D P Q          với , P Q là số nguyên.

Suy ra 15. A

b) Với mọi số nguyên a thì 2 a chia 11 dư 0, 1, 3, 4, 5, 9.

Ta có: 2 2 11 0 11 0. m n m n      Nếu 2 2 11 1 n m   thì   2 10 mod11 , m  mâu thuẫn.

Suy ra: 2 2 11 2. n m  

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

   

2

2 2 2

3 11 3 11 1

9 11 3 11 6 11 3 2 .

n m m

n m m

  

     

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)

-------------