Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Bến Tre

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BẾN TRE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG LẬP NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên .

b) Cho Parabol  2 : 2 P y x  và đường thẳng : 6 d y x  . Biết  d cắt   P tại hai điểm phân

biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y với 1 2 x x  . Tính 2 1 4x y  .

c) Rút gọn biểu thức  

2 2 1 4 4 2 7 A x x x        (với 2 x  ). Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình:   2 3 4 4 0 x m x m      (1), với m là tham số. Tìm m để phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x thỏa 1 2 1 2 20 x x x x    .

Câu 3. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 1 2 y xy x y xy y x      .

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 2 2 0

4 2 2 0.

y xy

x y y x

 

  

     

c) Giải phương trình:    2 3 2 5 2 2 9 10 2 1 x x x x x        .

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương x, y z thỏa 3 2 xy xz   . Chứng minh rằng:

8 4 5 7 yz xz xy x y z    .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A với ( AB AC  ), có đường cao AH . Biết 1dm BC  và 12dm 25 AH  .

a) Tính độ dài hai cạnh AB và AC b) Kẻ HD AB  ; HE AC  (với D AB  , E AC  ). Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh IA DE  . Câu 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC có đường phân giác ngoài của góc A cắt đường thẳng BC tại điểm D . Gọi M là trung điểm của BC . Đường tròn ngoại tiếp ADM  cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại E và F (với E , F khác A). Gọi N là trung điểm của EF . Chứng minh rằng MN //

AD.

____________________ HẾT ____________________

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên .

b) Cho Parabol  2 : 2 P y x  và đường thẳng : 6 d y x  . Biết  d cắt   P tại hai điểm phân

biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y với 1 2 x x  . Tính 2 1 4x y  .

c) Rút gọn biểu thức  

2 2 1 4 4 2 7 A x x x        (với 2 x  ). Lời giải

a) Hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên  6 6 7 0 7 m m      .

Vậy 6 7 m  thì hàm số đã cho nghịch biến trên .

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của   P và  d , ta có:

2 2 0 2 2 6 6 x x x x     

Có:  2 4.2.6 49 0 1      Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

1 49 2 2.2 x    và 2

1 49 3 2.2 2 x   

Với 1 2 x , ta có 1 8 y , suy ra   2;8 A  .

Với 2

3 2 x  , ta có 2

9 2 y  , suy ra 3 9 ; 2 2 B     .

Khi đó, ta có:

2 1 4 4.3 4 8 1 2 x y     .

Vậy 2 1 4 4 1 x y   .

c)

 

 

 

 

2

2

2

2 1 4 4 2 7

2 2 2 1 2 2 2.2 2 1

1 2 2 2 2 1

1 2 2 2 2 1

1 2 2 2 2 1 do 2 2 1 0

A x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x

x

     

        

     

 





    

      



Vậy A x  .

Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình:   2 3 4 4 0 x m x m      (1), với m là tham số. Tìm m để phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x thỏa 1 2 1 2 20 x x x x    .

Lời giải

Ta có:       2 2 2 2 4 6 9 1 1 3 4 6 4 6 10 25 5 m m m m m m m m               Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

2 0 5 0 5 0 5 m m m          Vậy với 5 m  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo đề bài ta có: 1 2 1 2 20 x x x x    (2), với điều kiện

1

2

0

0

x

x



   

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 0 x  và 2 0 x  , nghĩa là

5 5 5 3 0 3 1 4 4 0 1

m

m m m m

m

m

m           

             

(*)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:

1 2

1 2

3

4 4

x x m

x x m   

  

 

Ta có:

 

 

2

1 2 1 2 1 2

2

3 2 4 4

3 4 1

1 4 1

2

4 1 2

x x x x

m m

m m

m m m

x x   

   

   

  



  

Từ đó, ta suy ra

  1 2 1 1 2 do 1 2 0, x x m m m         

Từ phương trình (2), ta được

1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 4 4 2 22 4 …