Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Lào Cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn: Toán (Chuyên 1)

Khóa ngày: 03/06/2021

Thời gian: 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 1 1 2 : 2

                    

a a a a a A a a a a a

với 0; 1; 2    a a a . Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên.

b) Cho 1 2021  x . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2 2 2021 3 2018 2021.      x x x x x

Câu 2. (2,5 điểm)

1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó.

2) Cho phương trình   2 2 1 2 5 0      x m x m (trong đó m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm 1 2 ; x x

với mọi m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm 1 2 ; x x

thỏa mãn điều kiện:

   2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 0.        x mx m x mx m

Câu 3. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC

không cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) và đường tròn nội

tiếp (I; r). Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại D, E, F. Kéo dài AI cắt BC tại M

và cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ 2 là N (N khác A). Gọi Q là giao điểm của AI và FE. Nối AD cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là P (P khác D). Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) tại điểm thứ 2 là T (T khác D). Chứng minh rằng:

a) 2 .  AF AP AD

b) Tứ giác PQID nội tiếp và 2 . .  NB NM NA

c) QA là phân giác của  PQT

d)    ADF QDE

Câu 4. (2,0 điểm)

a) Cho hai số thực dương ;x y thỏa mãn: 2 3   x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 1 53 53     A x y

x y

.

b) Cho ba số thực dương ; , x y z thỏa mãn: 2 2 2 3    x y z . Chứng minh rằng:

    4 4 4 3 3 3 3          x y z x y z x y z .

Câu 5. (1,0 điểm)

a) Tìm tất cả các bộ số nguyên   ; x y thỏa mãn phương trình:   2 2 2 2 2 1     x x y xy

b) Cho p là số nguyên tố sao cho tồn tại các số nguyên dương ; x y thỏa mãn 3 3 6 8.     x y p xy

Tìm giá trị lớn nhất của p .

--------------------- HẾT ---------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 1 1 2 : 2

                    

a a a a a A a a a a a

với 0; 1; 2    a a a . Tìm tất cả các giá trị

nguyên dương của a đề P nhận giá trị nguyên.

b) Cho 1 2021  x . Tính giá trị biểu thức: 5 4 3 2 2 2021 3 2018 2021.      x x x x x

Lời giải:

a) Với:  

0

1,2

  

a

a

Ta có:     

    

1 1 1 1 1 1 2 2 : : 2 2 1 1

                                              

a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a

1 1 2 2 2 4 8 : 2 2 2 2 2 2

                                   

a a a a a a a A a a a a a a

Để   8 2 2 8 1; 2; 4; 8 2            A a U a  

Do:

     2 5 2 8 6 1;2

             

a a a a TM a



Vậy 6    a A 

b)

Đặt: 5 4 3 2 5 4 3 3 2 2 2 2021 3 2018 2021 2 2020 2 2020 2 2020 1.                 M x x x x x x x x x x x x x

        3 2 2 2 2 3 2 2020 2 2020 2 2020 1 2 2020 1 1                M x x x x x x x x x x x x

Mà:  

2 2 1 2021 1 2021 1 2021 2 2020 0.           x x x x x

1   M

Câu 2. (2,5 điểm)

1) Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 40km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được 20km người đó đã dừng lại nghỉ 20 phút. Do đó để đến B đúng thời gian dự định người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h. Tính vận tốc dự định của người đó.

2) Cho phương trình   2 2 1 2 5 0      x m x m (trong đó m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm 1 2 ; x x

với mọi m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương …