Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Vĩnh Long

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1

     x x x A

x x x

và 1 1 1     x x B

x

với 0, 1.   x x Rút gọn A và chứng

minh B > A. b) So sánh 24 26  và 10. Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): 2  y x và đường thẳng (d):   1 4     y m x m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt

(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung. Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 1    x x

b) Giải hệ phương trình:

1 2

3 2 2

           

x x x y y y x y

Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 32    x y xy y x Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, 3 4  BE BC . Tia Ax vuông góc với AE tại

A cắt tia CD tại F. a) Tính diện tích AEF

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: 2 .  AE KF CF Câu 6. (2,0 điểm) Cho   ; O R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với  O (A, B là các tiếp

điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của  O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh:

a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c)  OQ MQ Câu 7. (1,0 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn 1 2   x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 6 3      x x T x x

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

--------------------------------------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1

     x x x A

x x x

và 1 1 1     x x B

x

với 0, 1.   x x Rút gọn A và chứng

minh B > A. b) So sánh 24 26  và 10.

Lời giải

a) Với 0, 1.   x x Ta có:    

2 1 2 1 1 1

         

x x x x x x A

x x x x x x

2 1 2 1 1 1 1 1            x x x x x x x x

và      1 1 1 1 1 1 1 1 1

            

x x x x x B x x x x x x

Ta lại có:    

2 1 2 1 1 0           B A x x x x x x với 0, 1.   x x

  B A (đpcm)

b) Ta co:  

2 2 24 26 24 26 2. 24.26 50 2. 624 50 2. 625 100 10          

24 26 10   

Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): 2  y x và đường thẳng (d):   1 4     y m x m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt

(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung.

Lời giải

Xét PT hoành độ giao điểm:      2 2 1 4 1 4 0 *           x m x m x m x m

Ta có:         2 2 2 2 1 4 4 2 1 4 16 2 1 16 1 16 0                   m m m m m m m m m

 pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt m

Theo Vi-et ta có: 1 2

1 2

1

4

       

x x m

x x m

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu hay:

4 0 4      m m

Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 1    x x

b) Giải hệ phương trình:

1 2

3 2 2

           

x x x y y y x y

Lời giải

a) ĐK: 43 0 43    x x

Phương trình

     2 2 2 1 0 1 1 43 1 43

7 7 6 0 43 2 1 42 0 43 1

                                            

x x x x

x x x x x x x x x x