Đề thi và đáp án lớp 2015 môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN

(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3 −3x.

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+ 4

x trên đoạn [1; 3].

Câu 3 (1,0 điểm).

a) Cho số phức z thỏa mãn (1 −i) z −1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.

b) Giải phương trình log2(x2 + x + 2) = 3.

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

1 Z

0 (x −3)ex dx.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P):x −y + 2z −3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

Câu 6 (1,0 điểm).

a) Tính giá trị của biểu thức P = (1 −3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α), biết sin α = 2

3.

b) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(−5; −5), K(9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x −y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

Câu 9 (1,0 điểm). Giải phương trình x2 + 2x −8

x2 −2x + 3 = (x + 1) √x + 2 −2 trên tập số thực.

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 12abc + 72

ab + bc + ca −1

2abc.

−−−−−−−−Hết−−−−−−−−

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu Đáp án (Trang 01) Điểm

1 (1,0đ)

• Tập xác định: D = R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 3x2 −3; y′ = 0 ⇔x = ±1.

0,25

Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −2. - Giới hạn tại vô cực: lim x→−∞y = −∞; lim x→+∞y = +∞.

0,25

• Bảng biến thiên: x −∞ −1 1 +∞ y′ + 0 − 0 +

y

−∞

2

−2

+∞

* HHHHH j * 0,25

• Đồ thị:

x

y

O

−2

1 −1

2

0,25

2 (1,0đ)

Ta có f(x) xác định và liên tục trên đoạn [1; 3]; f ′(x) = 1 −4

x2 . 0,25

Với x ∈[1; 3], f ′(x) = 0 ⇔x = 2. 0,25

Ta có f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 13

3 . 0,25

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [1; 3] lần lượt là 5 và 4. 0,25

3 (1,0đ)

a) Ta có (1 −i)z −1 + 5i = 0 ⇔z = 3 −2i. 0,25

Do đó số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng −2. 0,25

b) Phương trình đã cho tương đương với x 2 + x + 2 = 8 0,25

⇔ hx = 2 x = −3. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = −3.

0,25