Đề thi và đáp án môn Toán khối D năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 −−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x3 −3mx2 + (m −1)x + 1 (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình sin 3x + cos 2x −sin x = 0.

Caâu 3 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình 2 log2 x + log 1

2

1 −√x = 1

2 log√

2 x −2√x + 2 .

Caâu 4 (1,0 ñieåm). Tính tích phaân I =

1 Z

0

(x + 1)2

x2 + 1 dx.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, \ BAD = 120◦, M là trung điểm của cạnh BC và \ SMA = 45◦. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y −1. Tìm giá trị lớn

nhaát cuûa bieåu thöùc P = x + y p

x2 −xy + 3y2 −x −2y

6(x + y).

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A. Theo chöông trình Chuaån

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M −9

2; 3

2

là trung điểm của cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; −1; −2), B(0; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x+y+z−1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z −i) + 2z = 2i. Tính môđun của

soá phöùc w = z −2z + 1

z2 .

B. Theo chöông trình Naâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−1)2+(y−1)2 = 4 và đường thẳng ∆: y −3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; −2) và mặt phẳng (P) : x −2y −2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).

Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x2 −3x + 3

x + 1 treân ñoaïn [0; 2]. −−−−−−Heát−−−−−−

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

a. (1,0 điểm)

Khi m = 1 ta có 3 2 2 3 1 y x x . = − +

• Tập xác định: . D = \

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: hoặc 2 ' 6 6 ; ' 0 0 y x x y x = − = ⇔ = 1. x =

0,25

Các khoảng đồng biến: và ( ; 0) −∞ (1; ); + ∞ khoảng nghịch biến: (0; 1).

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1.

- Giới hạn: lim ; lim . x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞

0,25

- Bảng biến thiên:

Trang 1/4

0,25

• Đồ thị:

0,25

b. (1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng là 1 y x = −+

3 2 2 3 ( 1) 1 1 x mx m x x − + − + =−+ 0,25

2 0

2 3 0 (*

x

x mx m

= ⎡ ⇔⎢ − + = ⎣ ).

Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0,25

2 9 8

0

m m

m

− > ⎧ ⇔⎨ ≠ ⎩

0 0,25

1 (2,0 điểm)

x

'y

y

− ∞ + ∞ 0 1

0 0 + + − + ∞

− ∞ 0

1

1 O

y

x

1

0 m ⇔ < hoặc 8. 9 m > 0,25