Đề thi và đáp án môn Toán khối D năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối D

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 2 2 2(3 1) (1), 3 3 y x mx m x = − − − + m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1. m = b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị 1x và 2 x sao cho 1 2 1 2 2( ) 1. x x x x + + =

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin3 cos3 sin cos 2 cos2 . x x x x + − + = x

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 0 ( , ). 2 2 0

xy x x y x x y x y xy y

+ − = ⎧⎪ ∈ ⎨ − + + − − = ⎪⎩ \

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

π 4

0 (1 sin 2 )d . I x x = + ∫ x

')

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông, tam giác vuông cân, . Tính thể tích của khối tứ diện và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(

. ' ' ' ' ABCD A B C D 'A AC 'AC a = ' ' ABBC BCD theo a.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực ,x y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 2 ( 4) ( 4) 2 32. x y xy − + − + ≤

3 3 3( 1)( 2). A x y xy x y = + + − + −

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC

và AD lần lượt có phương trình là và 3 x y + = 0 4 0; x y − + = đường thẳng BD đi qua điểm ( ) 1;1 . 3 M −

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và điểm Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

( ): 2 2 10 0 P x y z + − + = (2;1;3). I

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn 2(1 2 ) (2 ) 7 8 . 1 i i z i i + + + = + + Tìm môđun của số phức 1 . w z i = + +

B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho : 2 3 0. d x y −+ =

2. AB CD = =

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y d − + = = −

z và hai

điểm Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M. (1; 1;2), A − (2; 1;0). B −

Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình 2 3(1 ) 5 0 z i z i + + + = trên tập hợp các số phức.

---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:....................................................................; Số báo danh: ..............................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

a) (1,0 điểm)

Khi hàm số trở thành 1, m = 3 2 2 2 4 . 3 3 y x x x = − − +

• Tập xác định: . D = \ • Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: hoặc 2 2 2 4; 0 y x x y x ′ ′ = − − = ⇔ = −1 2. x =

0,25

Các khoảng đồng biến: và ( ; 1 −∞−) (2; ); +∞ khoảng nghịch biến . ( 1;2) − - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1, x = − yCĐ 3, = đạt cực tiểu tại 2, x = yCT 6. = − - Giới hạn: lim , lim , x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞

0,25

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

b) (1,0 điểm)

Ta có . 2 2 2 2 2(3 1) y x mx m ′ = − − − 0,25

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình 0 y′ = có hai nghiệm phân biệt

2 13 4 0 m ⇔ − > 2 13 13 m ⇔ > hoặc 2 13 . 13 m < −

0,25

Ta có: 1 2 x x m + = và 2 1 2 1 3 , x x = −m do đó 2 1 2 1 2 2( ) 1 1 3 2 1 x x x x m m + + = ⇔− + = 0,25

1 (2,0 điểm)

0 m ⇔ = hoặc 2. 3 m = Kiểm tra điều kiện ta được 2. 3 m = 0,25

−∞

+∞ 3

–6

y

'y + 0 – 0 +

x −∞ –1 2 +∞

x –1 O

2

– 6

3

y

Trang 1/4