Đề thi và đáp án môn Toán khối D năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x

+ = ⋅ +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình sin 2 2cos sin 1 0. tan 3 x x x x + − − = +

2. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 log 8 log 1 1 2 0 ( ). x x x − + + + − − = ∈\ x

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

4

0

4 1 d . 2 1 2 x I x x − = + + ∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3 a và Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

n 30 . SBC = D

Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

3 2

2 2 ( 2) ( , ). 1 2

x y x xy m x y x x y m

⎧ − + + = ⎪ ∈ ⎨ + − = − ⎪⎩ \

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: 1 3 2 1 2 x y z + − = = − ⋅

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: z – (2 + 3i) z = 1 – 9i. B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3 : 2 4 1 x y − − Δ = = z và mặt phẳng

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

( ): 2 2 0. P x y z − + =

Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

2 2 3 1 x x y x + + = +

3 trên

đoạn [0; 2].

----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

• Tập xác định: { } \ 1 D = − \ .

• Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên: 2 1 ' 0 ( 1) y x = + , > ∀ x ∈ D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

0,25

– Giới hạn và tiệm cận: lim lim x x y y →−∞ →+∞ = = 2; tiệm cận ngang: y = 2.

= + ∞, = – ∞; tiệm cận đứng: x = – 1. ( )1 lim x y − →− ( )1 lim x y + →−

0,25

– Bảng biến thiên:

Trang 1/4

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

Gọi d: y = kx + 2k + 1, suy ra hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm phương trình:

kx + 2k + 1 = 2 1 1 x x + + ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1) (do x = – 1 không là nghiệm)

⇔ kx2 + (3k – 1)x + 2k = 0 (1).

0,25

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B, khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ⇔ ⎨ ⇔ 0 0 k ≠ ⎧ ⎨Δ > ⎩

2 0

6 1 0

k

k k

≠ ⎧

− + > ⎩

0

3 2 2 3 2 2.

k

k k

≠ ⎧⎪⎨< − ∨ > + ⎪⎩

(*). 0,25

I (2,0 điểm)

Khi đó: A(x1; kx1 + 2k + 1) và B(x2; kx2 + 2k + 1), x1 và x2 là nghiệm của (1).

x − ∞ –1 y’ + +

y − ∞

+ ∞

+ ∞

2

2

2

x

y

– 1 O

1

0,25 d(A, Ox) = d(B, Ox) ⇔ 1 2 1 kx k + + = 2 2 1 kx k + +