Đề thi và đáp án môn Toán khối D năm 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số . 4 2 6 y x x = − − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 y x = −.

Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình s in 2 cos2 3sin cos 1 0. x x x x − + − − =

2. Giải phương trình

3 3 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4 x x x x x x + + + + + − + = + (x ∈ R).

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

1

3 2 ln

e

d I x x x ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ x .

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = 4

AC . Gọi CM là đường

cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 21 3 1 y x x x x = − + + − − + + 0 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: | z | = 2 và z2 là số thuần ảo. B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:

3 x t y t

z t

= + ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪= ⎩

và Δ2: 2 1 2 1 2 x y − − = = z . Xác

định tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1.

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

2 2

4 2 0

2log ( 2) log 0

x x y

x

⎧ − + + = ⎪⎨ y − − = ⎪⎩

(x, y ∈ R).

---------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ................................

Trang 1/4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

• Tập xác định: R.

• Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 'y = − 4x3 − 2x = − 2x(2x2 + 1); 'y (x) = 0 ⇔ x = 0.

0,25

- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0); nghịch biến trên khoảng (0; +∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 6. - Giới hạn: lim x y →−∞ = lim x y →+∞ = − ∞. 0,25

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 6 x − 1, nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6. 0,25

Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình − 4x3 − 2x = − 6 0,25

⇔ x = 1, suy ra tọa độ tiếp điểm là (1; 4). 0,25

I (2,0 điểm)

Phương trình tiếp tuyến: y = − 6(x − 1) + 4 hay y = − 6x + 10. 0,25

1. (1,0 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: 2sinxcosx − cosx − (1 − 2sin2x) + 3sinx − 1 = 0 0,25

⇔ (2sinx − 1)(cosx + sinx + 2) = 0 (1). 0,25

Do phương trình cosx + sinx + 2 = 0 vô nghiệm, nên: 0,25

II (2,0 điểm)

(1) ⇔ sinx = 1 2 ⇔ x = 6

π + k2π hoặc x = 5 6

π + k2π ( k ∈ Z). 0,25

'y + 0 −

y 6

− ∞

x −∞ 0 +∞

− ∞

y

x

6

2 − 2 O