Đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 −−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 −3mx + 1 (1), với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b) Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình √

2(sin x −2 cos x) = 2 −sin 2x.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

2 Z

1

x2 + 3x + 1

x2 + x dx.

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 −i) z = 1 −9i. Tính môđun của z.

b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường

thẳng d : x −1

2 = y + 1

2 = z

−1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d.

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d. Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A′C và mặt đáy bằng 60◦. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ′B′C′ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′A′). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên

AD và điểm G 4

3; 3 là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ((1 −y)√x −y + x = 2 + (x −y −1)√y

2y2 −3x + 6y + 1 = 2√x −2y −√4x −5y −3 (x, y ∈R).

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = r a b + c +

r

b a + c + c 2(a + b).

−−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: .. . . . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu Đáp án Điểm

1 a) (1,0 điểm) (2,0đ) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x 3 −3x + 1. • Tập xác định: D = R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 3x2 −3; y′ = 0 ⇔x = ±1.

0,25

Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = −1. - Giới hạn tại vô cực: lim x→−∞y = −∞; lim x→+∞y = +∞.

0,25

- Bảng biến thiên:

x −∞ −1 1 +∞ y′ + 0 − 0 +

y 3 +∞

−∞ −1 1 PPPPPP q 1 0,25

• Đồ thị:

x

y

3

−1

−1

1

O

1

0,25

b) (1,0 điểm)

Ta có y′ = 3x2 −3m. Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị ⇔phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔m > 0. 0,25

Tọa độ các điểm cực trị B, C là B(−√m; 2 √

m3 + 1), C(√m; −2 √

m3 + 1). Suy ra −−→ BC = (2√m; −4 √

m3). 0,25

Gọi I là trung điểm của BC, suy ra I(0; 1). Ta có tam giác ABC cân tại A ⇔−→ AI.−−→ BC = 0 0,25

⇔−4√m + 8 √

m3 = 0 ⇔m = 0 hoặc m = 1

2.

Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị, ta được giá trị m cần tìm là m = 1

2.

0,25

1