Đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số m là tham số thực. 3 2 3 3 3 ( y x mx m = − + 1),

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1. m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1. x x x x x + = − +

Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 2 1 4 1 3 . x x x + + − + ≥ x

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

1 3

4 2 0 d . 3 2

x I x x x = + + ∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với 2 , . SA a AB a = = Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0 x y z + + = và

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 1. x y z + + =

5 5 5. P x y z = + +

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn 2 2 1 ( ): 4, C x y + =

và đường thẳng 2 2 2 ( ): 12 18 0 C x y x + − + = : 4 d x y 0. − − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc tiếp xúc với d và cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. 2 ( ) C , 1 ( ) C

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 : 2 1 2 x y z d −= = − và hai

điểm Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. (2;1;0), A ( 2;3;2). B −

Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có và

đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình

2 AC BD = 2 2 4. x y + = Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.

(0;0;3), (1;2;0). A M

Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0. z iz − − = Viết dạng lượng giác của z1 và z2.

---------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:................................................................... ; Số báo danh:............................................. .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

a) (1,0 điểm)

Khi ta có: . 1, m = 3 2 3 3 y x x = − +

• Tập xác định: . D = \ • Sự biến thiên:

− Chiều biến thiên: ' 0 2 ' 3 6 ; y x x = − y = ⇔ 0 x = hoặc 2. x =

0,25

Các khoảng đồng biến: ( ; 0) −∞ và (2; ) + ∞, khoảng nghịch biến: (0; 2).

− Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0, x = yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại 2, x = yCT = −1.

− Giới hạn: và lim x y →−∞ = −∞ lim . x y →+ ∞ = +∞

0,25

− Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

b) (1,0 điểm)

2 ' 3 6 ; y x mx = − ' 0 ⇔ hoặc y = 0 x = 2 . x m =

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m ≠ (*).

0,25

Các điểm cực trị của đồ thị là 3 (0; 3 ) A m và 3 (2 ; ). B m m −

Suy ra và 3 3| | OA m = ( , ( )) 2| |. d B OA m =

0,25

48 OAB S∆ = ⇔ 3 4 4 8 m = 0,25

1 (2,0 điểm)

⇔ thỏa mãn (*). 2, m = ± 0,25

O

2

3

−1

x

y

+∞

–1

3

−∞ y

'y + 0 – 0 +

x 0 2 −∞ +∞

Trang 1/4