Đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2( 1) y x m x = − + + m (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.

2. Giải phương trình 2 3 2 6 2 4 4 10 3 ( ). x x x x x + − − + − = − ∈\

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

3

2 0

1 sin d . cos

x x I x x

π + = ∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCD.A1BB1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

3. AD a = Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1

o

B đến mặt phẳng (A1BD) theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 2 2

3 3 2 2 4 9 a b a b P b a b a ⎛ ⎞ ⎛ = + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⋅⎟⎠

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 1 : 1 2 1 x y − + Δ = = − −

z và mặt

phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và 4 14. MI =

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết: 5 3 1 0 i z z + − − . =

B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 1 ; 1 . 2 B⎛ ⎜⎝ ⎠ ⎞ ⎟ Đường tròn nội tiếp

tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.

(3; 1) D

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 2 1 1 3 x y z + − + = = −

5 2 và hai

điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5.

Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3 1 3 . 1 i z i

⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠

----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

Khi m = 1, ta có: y = x4 – 4x2 + 1. • Tập xác định: D = R.

• Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: y' = 4x3 – 8x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. ±

0,25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (– ∞; – 2 ) và (0; 2 ); đồng biến trên các khoảng (– 2; 0) và ( 2; + ∞).

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; ± yCT = – 3, đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1. – Giới hạn: lim lim . x x y y →−∞ →+ ∞ = = +

Trang 1/4

∞

0,25

– Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

y'(x) = 4x3 – 4(m + 1)x = 4x(x2 – m – 1); y'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x2 = m + 1 (1). 0,25

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, khi và chỉ khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m > – 1 (*).

0,25

Khi đó: A(0; m), B( 1; m − + – m2 – m – 1) và C( 1; m + – m2 – m – 1). Suy ra: OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ m2 – 4m – 4 = 0

0,25

I (2,0 điểm)

⇔ m = 2 ± 2 2; thỏa mãn (*). Vậy, giá trị cần tìm: m = 2 –2 2 hoặc m = 2 + 2 2. 0,25

1. (1,0 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx 0,25

⇔ cos2x(sinx – 1) + cosx(sinx …