Đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Môn: TOÁN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x

+ = + .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (sin . 2 cos2 )cos 2cos2 sin 0 x x x x x + + − =

2. Giải phương trình 2 3 1 6 3 14 8 x x x x + − − + − − = 0 (x ∈ R).

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

( )

2 1

ln d 2 ln

e x I x x x = + ∫ .

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng . ' ' ABC A B C ( ' ) A BC và ( ) ABC bằng . Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

60o ' A BC

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 2 M a b b c c a ab bc ca a b c = + + + + + + + + . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y − z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng

(P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 3 .

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

(1 ) z i i z − = + .

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 3 ) và elip (E):

2 2 1 3 2 x y + = . Gọi F1 và F2 là các

tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.

2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: 1 2 1 2 x y z − = = . Xác định tọa độ điểm M trên

trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM.

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2 log (3 1)

4 2 3 x x y x

y

− = ⎧⎪⎨ + = ⎪⎩

(x, y ∈ R).

---------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ...................................

Trang 1/4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

• Tập xác định: R \ {−1}.

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 2 1 ' ( 1) y x = + > 0, ∀x ≠ −1. 0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (− ∞; −1) và (−1; + ∞).

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 x x y y →−∞ →+∞ = = ; tiệm cận ngang: y = 2.

( 1) lim x y − →−

= + ∞ và ( 1) lim x y + →−

= −∞; tiệm cận đứng: x = −1.

0,25

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 x x

+ + = −2x + m

⇔ 2x + 1 = (x + 1)(−2x + m) (do x = −1 không là nghiệm phương trình)

⇔ 2x2 + (4 − m)x + 1 − m = 0 (1).

0,25

∆ = m2 + 8 > 0 với mọi m, suy ra đường thẳng y = −2x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. 0,25

Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2), trong đó x1 và x2 là các nghiệm của (1); y1 = −2x1 + m và y2 = −2x2 + m.

Ta có: d(O, AB) = | | 5 m và AB = ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 x x y y − + − = ( )

2 1 2 1 2 5 20 x x x x + − =

2 5( 8) 2 m + . 0,25

I (2,0 điểm)

SOAB = 1 2 AB. d(O, AB) =

2 | | 8 4 m m + , suy ra:

2 | | 8 4 m m + = 3 ⇔ m = ± 2. 0,25

x −∞ −1 + ∞

'y + +

y

2

2 +∞

−∞

2

−1 O x

y

1