Đề thi và đáp án môn Toán khối A năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 −−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x + 2

x −1 (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng √

2.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 −x + 3 và đường thẳng y = 2x + 1.

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.

b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x+y−2z−1 = 0

và đường thẳng d : x −2

1 = y

−2 = z + 3

3 . Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương

trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a

2 ,

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1).

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

( x√12 −y + p

y(12 −x2) = 12

x3 −8x −1 = 2√y −2 (x, y ∈R).

Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x2

x2 + yz + x + 1 + y + z x + y + z + 1 −1 + yz

9 .

−−−−−−Hết−−−−−−

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM −−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác định D = R \ {1}. • Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y ′ = − 3 (x −1)2; y′ < 0, ∀x ∈D.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim x→−∞y = lim x→+∞y = 1; tiệm cận ngang: y = 1.

lim x→1−y = −∞; lim x→1+ y = +∞; tiệm cận đứng: x = 1.

0,25

- Bảng biến thiên:

x −∞ 1 +∞ y′ − −

y 1 +∞

−∞ 1

PPPPPPP q

PPPPPPP q

0,25

• Đồ thị:

y

x

O

−2

−2

1

1

0,25

b) (1,0 điểm)

M ∈(C) ⇒M a; a + 2

a −1

, a ̸= 1. 0,25

Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x là d =

a + a + 2

a −1

√

2 . 0,25

d = √

2 ⇔|a2 + 2| = 2|a −1| ⇔ h a2 −2a + 4 = 0 a2 + 2a = 0. 0,25

• a2 −2a + 4 = 0: phương trình vô nghiệm.

• a2 + 2a = 0 ⇔ h a = 0 a = −2. Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M(0; −2) hoặc M(−2; 0). 0,25

1