Đề thi và đáp án môn Toán khối A năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số với m là tham số thực. 4 2 2 2( 1) (1), y x m x m = − + + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 0. m = b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3sin 2 cos2 2cos 1. x x x + = −

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

3 2 3 2

2 2

3 9 22 3 9 ( , ). 1 2

x x x y y y x y x y x y

⎧ − − + = + − ⎪ ∈ ⎨ + − + = ⎪⎩

\

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân

3

2 1

1 ln( 1) d . x I x x + + = ∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho

.S ABC S 2 . HA HB = Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

o 60 .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực , , x y z thỏa mãn điều kiện 0. x y z + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

| | | | | | 2 2 2 3 3 3 6 6 6 x y y z z x P x − − − = + + − + + . y z

. ND

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm

của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2 = Giả sử ( ) 11 1 ; 2 2 M và đường thẳng AN có

phương trình Tìm tọa độ điểm A. 2 3 x y − −= 0.

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d + − = = và

điểm Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

(0;0;3). I

Câu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 5 n n C − 3 n C = . Tìm số hạng chứa 5 x trong khai

triển nhị thức Niu-tơn của ( ) 2 1 , 0. 14

n nx x x − ≠

B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.

2 2 ( ): 8. C x y + =

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : , 2 1 1 x y z d + − = = mặt

phẳng và điểm ( ): 2 5 0 P x y z + − + = (1; 1;2). A − Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 1 z i i z . + = − + Tính môđun của số phức 2 1 . w z z = + +

---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:....................................................................; Số báo danh: ..............................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

a) (1,0 điểm)

Khi ta có: 0, m = 4 2 2 . y x x = −

• Tập xác định: . D = \ • Sự biến thiên:

− Chiều biến thiên: 3 ' 4 4 ; y x x = − ' 0 y = ⇔ 0 x = hoặc 1. x = ±

0,25

Các khoảng nghịch biến: à các khoảng đồng biến: ( ( ; 1) −∞− v (0; 1); 1; 0) − và ( 1; ). +∞

− Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1, x = ± yCT 1; = − đạt cực đại tại 0, x = yCĐ 0. =

− Giới hạn: lim lim . x x y y →−∞ →+∞ = = +∞

0,25

− Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

Trang 1/4

b) (1,0 điểm)

Ta có 3 2 ' 4 4( 1) 4 ( 1). y x m x x x m = − + = − −

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi 1 0 m + > ⇔ (*). 1 m > −

0,25

Các điểm cực trị của đồ thị là 2 (0; ), A m ( 1; 2 B m m 1) − + − − và ( 1; 2 1). m + − − C m

Suy ra: 2 ( 1; ( 1) AB m m = − + − + JJJG

) và 2 ( 1; ( 1) AC m m = + − + ). JJJG

0,25

Ta có nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi AB AC = . 0 AB AC = JJJG JJJG

0,25

1 (2,0 điểm)

⇔ . Kết hợp (*), ta …