Đề thi và đáp án môn Toán khối A năm 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1. 2 1 x y x − + = −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất.

1k k + 2

Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình 2 1 sin 2 cos2 2 sin sin 2 . 1 cot x x x x x + + = +

2. Giải hệ phương trình

2 2 3

2 2 2 5 4 3 2( ) 0 ( , ). ( ) 2 ( )

x y xy y x y x y xy x y x y

⎧ − + − + = ⎪ ∈ ⎨ + + = + ⎪⎩ \

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

4

0

sin ( 1)cos d . sin cos x x x x I x x x x

π + + = + ∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho , , x y z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức . 2 3 = + + + + + x y z P x y y z z x

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

2 2 ( ): 4 2 0. C x y x y + − − =

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. ( ): 2 4 0. P x y z − − + =

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết:

2 2 . z z = + z

B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip

2 2 ( ): 1. 4 1 x y E + = Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc

(E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

2 2 2 ( ): 4 4 4 0 S x y z x y z + + − − − = (4; 4; 0) A

Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 − + + + − = − z i z i i . ----------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011

Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

• Tập xác định: 1 \ . 2 D ⎧⎫ = ⎨⎬ ⎩⎭ \

• Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

( )

2 1 ' 0 2 1 y x

− = −

, < ∀x ∈ D.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1 ; 2 ⎛ ⎞ −∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

và 1 ; . 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +∞ ⎝ ⎠

0,25

Giới hạn và tiệm cận: 1 lim lim ; 2 x x y y →−∞ →+∞ = = − tiệm cận ngang: 1. 2 y = −

1

Trang 1/5

2 ⎝ ⎠

lim ,

x y − ⎛ ⎞ →⎜ ⎟ = −∞

1 2

lim ;

x y + ⎛ ⎞ →⎜ ⎟ ⎝ ⎠

= + ∞ tiệm cận đứng: 1. 2 x =

0,25

Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

Hoành độ giao điểm của d: y = x + m và (C) là nghiệm phương trình: x + m = 1 2 1 x x −+ −

⇔ (x + m)(2x – 1) = – x + 1 (do x = 1 2 không là nghiệm) ⇔ 2x2 + 2mx – m – 1 = 0 (*).

0,25

∆' = m2 + 2m + 2 > 0, ∀m. Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m. 0,25

Gọi x1 và x2 là nghiệm của (*), ta có:

k1 + k2 = – 2 1

1 (2 1) x − – 2 2

1 (2 1) x − =

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

4( ) 8 4( ) 2. (4 2( ) 1) x x x x x x x x x x + − − + + − − + +

0,25

I (2,0 điểm)

Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = – 4m2 – 8m – 6 = – 4(m + 1)2 …