Đề thi và đáp án môn Toán khối A năm 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện 2 2 2 1 2 3 x x x + + < 4. Câu II (2,0 điểm)

1. Giải phương trình

(1 sin cos2 )sin 1 4 cos 1 tan 2

x x x

x x

π ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠= + .

2. Giải bất phương trình

2 1 2( 1

x x

x x

−

− − + )

≥ 1.

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =

1 2 2

0

2 d 1 2

x x

x x e x e x e + + + ∫ .

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

⎧ + + − − = ⎪⎨ + + − = ⎪⎩

(x, y ∈ R).

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3 0 x y + = và d2: 3 x y − = 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết

phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương.

2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 1 2 1 1 x y z −= = −

2 + và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0.

Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 .

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết 2 ( 2 ) (1 2 ) z i = + − i . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆: 2 2 2 3 2

3 x y z + − + = = . Tính

khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.

Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z =

3 (1 3 ) 1 i i − − . Tìm môđun của số phức z + i z.

----------- Hết ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh................................

Trang 1/4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1. (1,0 điểm)

Khi m = 1, ta có hàm số y = x3 − 2x2 + 1. • Tập xác định: R.

• Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 'y = 3x2 − 4x; '( ) y x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 3 .

0,25

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và 4; 3 ⎛ ⎞ +∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; nghịch biến trên khoảng 4 0; 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1, đạt cực tiểu tại x = 4 3 ; yCT = 5 27 − .

- Giới hạn: lim x y →−∞ = − ∞ ; lim x y →+∞ = + ∞.

0,25

- Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị:

0,25

2. (1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2 − x − m = 0 (*) 0,25

Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, khác 1. 0,25

Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x1 = 1; x2 và x3 là các nghiệm của (*).

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi:

2 2 2 3

0

(1) 0

3

g

x x

⎧∆> ⎪ ≠ ⎨ ⎪ + < ⎩

0,25

I (2,0 điểm)

⇔ 1 4 0 0

1 2 3

m m

m

+ > ⎧ ⎪− ≠ ⎨ ⎪+ < ⎩

⇔ 1 4 − < m < 1 và m ≠ 0. 0,25

y 1 +∞

−∞

'y + 0 − 0 +

x −∞ 0 4 3 +∞

5 27 −

5 27 …