Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2018 2019 sở Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm) Cho ba số , , a b c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện

a b b c c a c a b      . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 a b c A b c a

                                   

.

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 2 1 3 2 2 1 ( 1) x x x     

.

2) Cho hai đa thức 5 3 2 ( ) 5 4 1, ( ) 2 1 P x x x x Q x x x       . Gọi 1 2 3 4 5 , , , , x x x x x là

các nghiệm của  P x . Tính giá trị của      1 2 3 4 5 . . . . Q x x x x Q Q Q x Q .

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho 2 2 n  là ước số của 6 206 n  .

2) Cho , , a b c là các số nguyên khác 0, a c  sao cho

2 2

2 2 a b a c b c   

. Chứng minh rằng

2 2 2 a b c   không phải là số nguyên tố. Câu 4. (7,0 điểm)

1) Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC . Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vuông AMHN . Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH tại E . Đường thẳng AH cắt DC tại F .

a) Chứng minh rằng BM ND  . b) Tứ giác EMFN là hình gì? c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC .

2) Cho tam giác ABC có   90 , 20 BAC ABC    . Các điểm E và F lần lượt nằm trên

các cạnh , AC AB sao cho  10 ABE   và  30 ACF  . Tính  CFE . Câu 5. (3,0 điểm)

1) Cho các số thực , , 1 a b c . Chứng minh rằng

1 1 1 4 4 4 3 2 1 2 1 2 1 a b c a b b c c a             .

2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia

hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2 3 . Chứng minh rằng có ít nhất 3

đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.

--------HẾT-------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán - Lớp 8 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

Nếu 0 a b c    thì , , . a b c b c a c a b      

Do đó, 1 1 a b b c c a a b b c c a A c a b c a b             . 1,0

Nếu 0 a b c    thì 2 a b b c c a a b b c c a c a b c a b               .

Do đó, 2 , 2 , 2 a b c b c a c a b a b c          , trái giả thiết. Vậy 1 A .

1,0

2.1. (2,0 điểm)

Điều kiện: 0, 1 x x   0,25

2 2 2 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 0 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x x             

2 2

2 2 1 ( 1) 3( 1) 2 0 ( 1) x x x x x         

2

2 2 ( 1)( 1) 2 1 3 3 2 0 ( 1) x x x x x x x          

0,75

2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 1 0 ( 1) 0 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x

                    

0,5

3 3 1 ( 1) ( 1) 0 1 2

x x x x x

                   

(thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1; 2 S               

.

0,5

2.2. (2,0 điểm)

Ta có       5 1 2 3 4 5 3 ( ) 5 4 1 P x x x x x x x x x x x x x x          

1 ( ) 2 ( 1 ) 2 Q x x x             

0,75

Do đó      1 2 3 4 5 . . . . Q x x x x Q Q Q x Q

5 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x                                                                            1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 x x x x x           

0,75

1 32. ( 1) 2 P P        

5 32 2 1 ( 1 5 4 1) 7 8 1 7 32

                 

. 0,5

3.1. (2,0 điểm)

2 2 n  là ước số của 6 206 n 

6 6

2 2 206 8 198 2 2 n n n n           

4 2 2 198 2 4 2 n n n       .

0,75