Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020 chi tiết - Đề 11

ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

(02. 4. 2020) Câu 1. (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 x y xy x y 2. + − = + + b) Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn. Chứng minh rằng

3 3 3 3 (a b c) (a b c) (b c a) (a b c) + + − + − − + − − − + chia hết cho 96.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có

2 1 1 1 1 1 1 n n 2 n n 2       + + = + −  + +

b) Tính tổng

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 . 3 2 4 3 5 2014 2016                         = + + + + + + + + ++ + +

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2x x 2x x . − = −

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 (x 1)y (y 1)x 2(xy 1). 4x y 2x y 6 0

 

− + − = −

+ + − − =

Câu 4. (7,0 điểm)

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O ; R), BC < 2R. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC, A không trùng với các điểm B và C. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng EF và BC cắt nhau tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này lần lượt cắt AC tại Q và cắt AB tại R.

a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác EPM đồng dạng với tam giác DEM.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn 2 2 2 x y z 3. + + = Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 3 3 x y z xy yz xz. yz xz xy + +  + +

----------Hết----------