Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2019 - 2020 tỉnh Bắc Ninh có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO BẮC NINH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS Ngày thi: 15/5/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM đề và giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2 2 2 1 P n n   với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 ,...,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 +...+P9 + P10

2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành.

Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình 2 2 4 2x 5x 1 x x      

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số , , a b c .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng

minh 1 4 c  

Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 1 1 1 a a c b b a b c c b c a ab bc ca          

2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa 2 2 2 2 1 2 3 4 n d d d d     trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn

ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n

Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O) với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại

E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB

a.Chứng minh 2 . MN FN NA  b.Chứng minh 0 90 HFN  và MN=MH

c.Chứng minh

2

2

E 1 HB F HF FM  

2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH

Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ?

Lời giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2 2 2 1 P n n   với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 ,...,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 +...+P9 + P10

2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành.

Lời giải

1.Ta có 2 2 2 1 1 1; 11 10 1 P n n n n S         

2.Ta có 2 2 2 x 2 x-2 0; 8 0 x m x m m m       .Vì phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu ,giả sử xA = xD <0; xB = xC >0 .Vì

2 2 2 D 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 7,5 ( )( ) 15 ( )( ) 15 ( ) ( ) 2 15 ABC S x x y y x x x x x x x x x x                  

với

2 2 1

2 1

2 1

8

2

x x m x x m x x

           

.Thay vào trên ta có

2 2 2 2 2 2 8.( 8) 15 ( 1) ( 8) 9( 4) 45 0 1 m m m m m m                

Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình 2 2 4 2x 5x 1 x x      

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số , , a b c .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng

minh 1 4 c  

Lời giải

1.Ta có

2 1 1 2 4; 2 4 2x 5x 1 ( 3). (2x 1) 0 2 1 4 1 x x x x

x x                       

3 1 1 (2x 1) 0 2 1 4 1

x

x x

             

.Ta có

1 1 1 1 (2x 1) 0; (2x 1) 1 2 1 4 1 2 1 4 1 VT VP x x x x                  theo điều

kiện

2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt ) hay x2+bx+c=0 có 2 nghiệm t1 , t2 và mỗi phƣơng trình x2+bx+c=t1 và x2+bx+c=t2 đều

có hai nghiệm với t1 + t2 =b.Khi đó ta có

2

2 2

1 2 2

2

4a 0

4a 0 4( ) 0

4 2 0 4( ) 0

b c

b c b c t

b c b b c t

                     

.Với x1 ,

x2 là nghiệm chung ta có x2+bx+c=t1 và x2+bx+c=t2 hay suy ra x1 + x2 =-b nên

b=1 lúc đó 1 4 c   .

Với

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 …