Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2017-2018 sở Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x P

x x x x x x x x           

, với 0, 1. x x   Rút gọn P

và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2. Tính giá trị của biểu thức

2018 2017

2 4( 1) 2 2 1 2 3 x x x x P x x       tại 1 3 . 2 3 2 2 3 2 x    

Câu II (4,0 điểm).

1. Biết phương trình 2 ( 2) 2( 1) 0 m x m x m      có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của

tam giác vuông đó bằng 2 .

5

2. Giải hệ phương trình

2 2 2 ( ) (8 8 4 13) 5 0 1 2 1

x y x y xy

x x y

            

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) . y y y x y y x        2. Cho ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 p a b   là số nguyên tố và 5 p  chia

hết cho 8. Giả sử ,x y là các số nguyên thỏa mãn 2 2 ax by  chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai số ,x y chia hết cho p . Câu IV (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ( ),( ),( ) a O I I theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là , , a O I I .

Gọi D là tiếp điểm của ( )I với BC , P là điểm chính giữa cung của ( ) O , a PI cắt ( ) O tại điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và , BC N là điểm đối xứng với P qua . O 1. Chứng minh a IBI C là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh a NI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . aI MP

3. Chứng minh a DAI KAI  .

Câu V (2,0 điểm).

Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . x z  Chứng minh rằng

2

2

2 5. 2 xz y x z y yz xz yz x z       

------------- HẾT --------------

BAC

Số báo danh ..................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 05 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Cho biểu thức 2 2 1 1 2 2 1 x x x x x P

x x x x x x x x           

, với 0, 1. x x  

Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên

2,5

Với điều kiện 0, 1 x x  , ta có:

       

2 1 2 2 1

1 1 1 1 1

x x x x x P

x x x x x x x x x x

              

0,50

      

2 1 1 2 2 1

1 1

x x x x x x x

x x x x

       

  

0,50

    

2

1 1

x x x

x x x x

  

  

0,50

     

1 2 2 .

1 1 1

x x x x x x x x

    

    

0,50

Ta có với điều kiện 0, 1 1 1 1 x x x x x     

2 2 1 0 1 2 1 1 1 x x P

x x x x            

Do P nguyên nên suy ra 2 1 1 1 1 x P x x x      

(loại).

Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.

0,50

Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau

  2 1 2 0 1 x P Px P x P x x          

, coi đây là phương trình bậc hai của x .

Nếu 0 2 0 P x     vô lí, suy ra 0 P  nên để tồn tại x thì phương trình trên có

    2 1 4 2 0 P P P       

2 2 2 4 4 3 6 1 0 2 1 1 3 3 P P P P P         

Do P nguyên nên  

2 1 P  bằng 0 hoặc 1

+) Nếu  

2 1 0 1 1 P P x      không thỏa mãn.

+) Nếu  

2 2 1 1 2 2 0 0 0 P P P x x x P

             

không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

0,50

2. Tính giá trị của biểu thức  

2018 2017

2 4 1 2 2 1 2 3 x x x x P x x       tại

1 3 . 2 3 2 2 3 2 x    

1,5