Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 22018- 2019 sở Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức:

3 3

3 3 2( ) 2 2 . 2 2 2 2 2 2

a b a a b P a a ab b b ab a b

                                

với 0, 0, 2 . a b a b   

2) Cho hàm số   2 4 4 3 2 y m m x m      có đồ thị là d . Tìm tất cả các giá trị của m

để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 1 2 cm (O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là cm). Câu 2. (4,0 điểm)

1) Cho phương trình   2 2 3 2 2 5 3 0 x m x m m       , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất

cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

2) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 1 3 1 2

3 2 2

x y y x x y

x x y y

             

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn các điều kiện 2 ( )( ) 4 a c b c c    . Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 a b ab P b c a c bc ca       .

2) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn 3 4 9 p p   là số chính phương. Câu 4. (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn   O AB AC  và đường caoAD . Vẽ

đường kính AE của đường tròn O .

a) Chứng minh rằng . . AD AE AB AC  . b) Vẽ dây AF của đường tròn  O song song với , BC EF cắt AC tại , Q BF cắt AD tại

P . Chứng minh rằng PQ song song với BC .

c) Gọi K là giao điểm của AE vàBC . Chứng minh rằng:

. . . . . AB AC AD AK BD BK CDCK  

2) Cho tam giác ABC có   90 , 20 BAC ABC    . Các điểm E và F lần lượt nằm trên

các cạnh , AC AB sao cho  10 ABE   và  30 ACF  . Tính  CFE . Câu 5. (1,0 điểm)

Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9.

--------HẾT-------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

Ta có       

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . a b a b a b a ab b       

Suy ra

 

  

  

3 3

2( ) 2 2( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 . 2 2 2 2

a b a a b a b a

a ab b a b a b a ab b

a ab b

a b a b a ab b

           

       

0,75

  

 

 

3 3

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 . 2 2 2

a b a ab b a b a a b ab b b a

a b a ab b a ab b a b b b

        

        

0,75

Từ đó suy ra  

2 2 1 2 . . 2 2 2

a b a b P a b b b

    

0,5

Cách 2: Đặt ; 2 x a y b   ta được

2 2 3 3

3 3 2 2 2 2 . x y x x y P x x y x xy y y xy

                              

với 0; 0, x y x y    .

1.2. (2,0 điểm)

Vì ba điểm , , O A B tạo thành một tam giác nên 2 4 4 0 m m    và 3 2 0 m   .

Tọa độ giao điểm A của d và Ox là 2 2 2 3 2 3 ;0 4 4 4 4 m m A OA m m m m

                  

.

0,5

Tọa độ giao điểm B của d và Oy là   0;3 2 3 2 B m OB m     . 0,5

Do tam giác ABO vuông tại O nên 2 1 1 2 3 . 3 2 1 2 2 4 4 OAB m S OAOB m m m       

0,5

Do đó,      

2 2 2

2 2 2 3 2 9 12 4 2 4 4 2 9 12 4 2 4 4 4 4

m m m m m

m m m m m m

                  

2

2

2 7 4 12 0 2 11 20 4 0 11

m m m

m m m

                    

(thỏa mãn)

0,5

2.1. (2,0 điểm)

     

2 2 2 2 3 2 4 2 5 3 8 16 4 0, m m m m m m m             . Do đó,

phương trình luôn có nghiệm, các nghiệm là 1 2 2 1; 3 x m x m     .

1,0

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi

1,0