Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm học 2019 2020 sở Lạng Sơn

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN - Lớp: 9 THCS Ngày thi: 18 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ------------------------------------ Bài 1: (4 điểm.) Cho biểu thức

A = 2 √

ab + 1

a + 1

b

:

√

a3 + b√a + a √

b + √

b3 √

a3b + √

ab3 , với a > 0, b > 0

a) Rút gọn biểu thức A

b) Biết ab = 81, tim a, b đểA đạt giá trịnhỏnhất. Tìm giá trịnhỏnhất đó.

Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình x2 + mx + m −3 = 0, với m là tham số.

a) Chứng minh rằng luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm giá trịcủa tham sốm đểhai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn

1 x2 1 + 1

x2 2 = 2

3

Bài 3: (4 điểm)

a) Cho a, b, c, d là các sốdương thoảmãn: a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng

1 a2 + 1 + 1 b2 + 1 + 1 c2 + 1 + 1 d2 + 1 ≥2

b) Cho hình chữnhật co độdài hai cạnh là 2 và 4. Đặt vào bên trong hình chữnhật đó 17 điểm phân biệt, bất kì. Chứng minh rằng bao giờcũng tìm được ít nhất ba điểm trong số 17 điểm đó, tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 1.

Bài 4: (6 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có ˆA = bD = 90◦, tia phân giác trong của góc C đi qua trung điểm O của AD.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (O; OA ) tại một điểm E.

b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a.

c) Qua C, vẽcát tuyến CD, 1 nằm giữa C và J, với đường tròn (O; OA). Vẽdây cung DK song song với L. Xác định vịtrí của điểm J để∆CKJ có diện tích lớn nhất.

Bài 5: (2 điểm)

a) Tim các sốnguyên dương x, y thỏa mãn phương trình

xy2 + 2xy + x −16y −32 = 0

b) Chứng minh rằng không tồn tại các sốnguyên x, y, z thỏa mãn

x2 + 2y2 + 98z2 = 111 . . . 1, ( có 666 chữsố1)

Biên soạn: Long Nguyễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

-------------------- HẾT --------------------