Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh năm 2019 2020 sở Hà Nam

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: TOÁN - Lớp: 9 THCS Ngày thi: 22 tháng 05 năm 2020 Thời gian làm bài: 150 phút (đề thi gồm có 01 trang) ---------------------------

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức

P =

10x + 4 5x √

5x −8 −

√

5x 5x + 2 √

5x + 4

! 8 + 5x√x

2 + √

5x −1

với x ≥0; x ̸= 4

5 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trịnguyên của x đểP nhận giá trịnguyên.

Bài 2: (2,0 điểm) Cho hai đường thẳng d : y = 3 và

d′ : y = 1 m −1 + 1

m + 1 m + 1

x + 2018

m −1 + 2019

m + 2020

m + 1

(m là tham số). Tìm điều kiện của tham sốm đểhai đường thẳng d, d′ cắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d và d′, tìm m đểđộdài đoạn thẳng OA bằng 5.

Bài 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình 2x2 + x √

2x2 + x + 10 + 2 = √

2x2 + x + 4.

2. Giải hệphương trình

( (x + y)2 = 2xy(xy + 1) (x + y)(1 + xy) = 2 (x2 + y2)

Bài 4: (1,5 điểm) Cho hai sốm, n nguyên dương thỏa mãn m là ước của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không phải là sốchính phương.

Bài 5: (7,0 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứhai là M. Đường thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K.

a) Chứng minh \ BAH = [ OAC. b) Chứng minh đường thẳng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). c) Giảsửđiểm A cốđịnh, các điểm B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) thỏa mãn AB.AC = 3R2. Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độdài đoạn thẳng OF

2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm bất kỳtrên cung nhỏ BC (M không trùng với B và C). Đường tròn (O′, R′) với (R′ > R) tiếp xúc trong với đường tròn (O; R) tại điểm M. Các đoạn thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt đường tròn (O′; R′) tại điểm thứhai là D, E, F. TừA, B, C kẻcác tiếp tuyến AI, BJ, CK với đường tròn (O′; R′), trong đó I, J, K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và AI = BJ +CK

Bài 6: (1,5 điểm) Cho các sốthực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng

x2y2

2x2 + 3x2y2 + y2 + y2z2

2y2 + 3y2z2 + z2 + z2x2

2z2 + 3z2x2 + x2 ≤1

2

Biên soạn: Long Nguyễn

SỞ GD&ĐT HÀ NAM

--------------- HẾT ---------------