Xem trước nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2019
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình 2 0(1) ax bx c thỏa mãn các điều kiện:
0 a và 2 . ac b a c
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x và
1 2 1 1 0 x x và 1 2 1 1 0. x x
b) Biết thêm rằng a c . Chứng minh rằng 1 2 1 , 1. x x
Bài 2. (1,5 điểm)
a) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2 1 n chia hết cho 9.
b) Cho n là số tự nhiên, 3 n . Chứng minh rằng 2 1 n không chia hết cho 2 1 m với mọi số tự nhiên m sao cho 2 . m n
Bài 3. (2 điểm) Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện: 4 4 4 4 a a b b .
a) Chứng minh rằng 0 2. a b
b) Biết rằng 4 4 4 4 0. a a b b k Chứng minh rằng 0. k ab
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC . Gọi 1 2 , d d lần lượt là các đường phân giác
trong và ngoài của góc BAC . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên 1 2 , d d . Gọi P,
Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên 1 2 , . d d
a) Chứng minh rằng MN và PQ lần lượt đi qua trung điểm của AB và AC.
b) Chứng minh rằng MN và PQ cắt nhau trên BC.
c) Trên 1d lấy các điểm E và F sao cho ABE BCA và ACF CBA (E thuộc nửa mặt phẳng bờ
AB chứa C; F thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B). Chứng minh rằng BE AB CF AC .
d) Các đường thẳng BN và CQ lần lượt cắt AC và AB tại các điểm K và L. Chứng minh rằng các đường thẳng KE và LF cắt nhau trên đường thẳng BC.
Bài 5. (1,5 điểm) Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia.
a) Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng
10. 2 k n
b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
