Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2019 - 2020 THPT Trần Phú có đáp án chi tiết

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

THPT TRẦN PHÚ

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 120 phút

ĐỀ BÀI

Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số     2 2 2 1 2       y m x m x m (m là tham số).

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ;2  .

Câu 2: (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt

nhau tại điểm M , tọa độ điểm ( 2; 2),B(0;4) A − − và (7;3) C .

a) Tìm tọa độ điểm E để 2 0 EA EB EC + + =    

và tìm giá trị nhỏ nhất của 2 PA PB PC + +   

biết P là điểm di động trên trục hoành.

b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D

Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 3 2 2 2 1 x mx x m x + + − = + ( m là tham số).

a) Giải phương trình với 3 m = −.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh

BC , CA sao cho BM a = , 2 CN a = .

a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM BC ⋅ 

theo a .

b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN

theo a .

Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số ( )

4 2 4 5 f x x x m = − + + ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn

nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2; 5   −   đạt giá trị nhỏ nhất.

----------------HẾT----------------

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

THPT TRẦN PHÚ

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 120 phút

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (5,0 điểm). Cho hàm số     2 2 2 1 2       y m x m x m (m là tham số).

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .

b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ;2  .

Lời giải:

a) Để đồ thị là một đường parabol thì 2 0 2    m m .

Đồ thị có tung độ đỉnh bằng   2 5 3 3 2 5 3 2 2        m m m m m m m

  2 1 3 8 5 0 5 3

        

m m m tm m

.

Vậy

1

5 3

    

m

m

.

b) Để hàm số nghịch biến trên   ;2  thì 2  m .

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; 2           m m

Ta được:    1 2 1 2 2 2 0 2 m m m do m m       .

1 2 4 3 m m m     

Vậy 2 3 m  .

Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại

điểm M , tọa độ điểm ( 2; 2),B(0;4) A − − và (7;3) C .

a) Tìm tọa độ điểm E để 2 0 EA EB EC + + =    

và tìm giá trị nhỏ nhất của 2 PA PB PC + +   

biết P là điểm di động trên trục hoành.

b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D

.

Lời giải

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

a) Ta gọi ( ; ) E x y ,

( ) ( ) ( ) 2 2 4 7 3 EA x; y ,EB x; y ,EC x; y = −− −− = − − = − −   

nên ( ) ( )

2 2 7 0 2 2 0 3 2 4 2 3 0

x x x x EA EB EC y y y y

−− − + − =  =   + + = ⇔ ⇔   = −− + − + − =  

   

.

Vậy (2;3) E .

Ta có: 2 4 4 PA PB PC PE PE + + = =    

.

Nên 2 PA PB PC + +   

đạt giá trị nhỏ nhất khi P là hình chiếu của E lên trục hoành.

Vậy ( ) 2 0 P ; .

b) Gọi ( ) M a;b và ( ; ) D c d

Diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC nên

4

1 1 4. . . 2 2 4 . .

MBC MAB S S

MH BC MK DA

MH BC MK AD

∆ ∆ =

⇔ =

⇔ =

4BC MK AD MH ⇔ = .

Mà ABCD là hình thang nên MK AD MH BC = .

Do đó 4 AD BC BC AD = .

Suy ra 2 4 2 2 AD BC AD BC AD BC = ⇒ = ⇒ =  

.

( 2; 2) 12 4 (7; 1)

AD c d c d BC

 = + + =   ⇒   = − = −  



 .

Vậy ( ) 12 4 D ;− .

Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 3 2 2 2 1 x mx x m x + + − = + ( m là tham …