Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2019 THPT thị xã Quảng Trị có đáp án

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019 Môn thi: Toán lớp 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I. (5,0 điểm) Cho Parabol (P): 2 y x bx c    .

1) Tìm ,b c để Parabol (P) có đỉnh 1 5 ; 2 4 S         .

2) Với ,b c tìm được ở câu 1. Tìm m để đường thẳng : 2 y x m    cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ). Câu II. (6,0 điểm) 1) Tìm m để bất phương trình:   2 2 3 2 14 0 mx m x m      vô nghiệm trên tập số thực.

2) Giải bất phương trình sau trên tập số thực:   2 2 2 4 2 5 6 0. x x x x      

3) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :  

2 3 2

4 2 1

2 1 1

x x y xy xy y

x y xy x

           

Câu III. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh , BC CA lần lượt lấy các điểm , N M sao cho 1, 2. BN CM  

a) Phân tích véc tơ AN  theo hai vectơ , . AB AC 

b) Trên cạnh AB lấy điểm , P   , P A P B   sao cho AN vuông góc với . PM Tính tỉ số . AP AB

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy là , AD BC và AD BC  , biết rằng , 7. AB BC AD   Đường chéo AC có phương trình là 3 3 0 x y    , điểm   2; 5 M  

thuộc đường thẳng . AD Tìm tọa độ đỉnh D biết đỉnh   1;1 . B

Câu IV. (3,0 điểm) 1 ) Cho tam giác ABC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức

  2 3 3 3 2 = sin sin sin 3 S R A B C   . Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

2) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 3. x y z    Chứng minh rằng 9 . x y z y z x x y z     

3) Cho đa thức  2018 2016 P x x mx m    trong đó m là tham số thực. Biết rằng  P x có 2018

nghiệm thực. Chứng minh rằng tồn tại một nghiệm thực 0x của  P x thỏa mãn 0 2. x  ---------------------HẾT---------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT.

Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 10 NĂM HỌC 2018-2019.

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu I (5,0 điểm)

1) (2,0 điểm). Đỉnh

/ 2 1/ 2 1 1 5 ; ( ) 1 5 1 2 4 4 2 4

b b S P b c c

                        

2) (3,0 điểm). Pt hoành độ giao điểm của (P) và :

2 2 1 2 3 1 0 x x x m x x m        (*).  cắt (P) tại hai điểm phân biệt PT(*)

có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x   13 0 13 4 0 ** 4 m m      

Giả sử     1 1 2 2 ; 2 ; ; 2 A x x m B x x m     theo Viet ta có 1 2

1 2

3

1

x x

x x m

       .

Ta có tam giác OAB vuông tại

O  

2 2 1 2 1 2 1 21 . 0 5 2 0 5 0 . 2 OAOB x x m x x m m m m               

Đối chiếu đk (**) ta có đáp số 1 21. 2 m  

2 0,5 0,5 0,5 0,5 1

Câu II (6,0 điểm)

1) (2,0 điểm) TH 1: 0 m , bpt trở thành 7 6 14 0 3 x x      (không thỏa ycbt).

TH 2: 0 m  ,   2 2 3 2 14 0 mx m x m     VN   2 2 3 2 14 0 mx m x m       CN

x  2 0 0 0 9. ' 0 9 1 8 9 0

m m m m m hoac m m m

                       

Vậy 9. m 

2) (2,0 điểm). TH1: 2 2 5 6 0 3 x x x x       

TH 2: 2 2 5 6 0 3 x x x x        . Khi đó, bpt

 

2

2 2

2 0

2 0 2 4 2

2 4 2

x

x x x

x x

                  

2

2 2 0 2 2 4 4 0 4 0

x x x x x x x x x x

                                

.

Vậy tập nghiệm bất phương trình       ;0 2,3 4; S    

0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5

3) (2,0 điểm) Hpt:    

 

2 2 2 3 2

2 4 2 2

1 1

2 1 1 1

x y xy x y xy x x y xy xy y

x y xy x x y xy

                           

Đặt 2 , a x y b xy    hệ thành

3 2

2 2 1 2 0 0 1 2. 1 0 3 1 1

a ab b a a a a a a b b b a b b a

                                   

0,5

0,5