Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2020 - 2021 THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên chi tiết - Lần 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN

ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 10 – LẦN 1

NĂM HỌC 2020 - 2021

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày 10 tháng 09 năm 2020

Bài 1. Tìm tất cả các bộ ba số ( , , ) x y p nguyên dương, với p là số nguyên tố thỏa mãn:

2 2 2 3 12 x xy p y y    .

Bài 2. Giải hệ phương trình:   

2 2

2 2 4

3 3 9

x y x y

x x y y

           

.

Bài 3. Cho , , 0 a b c  và 3 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của:

2 2 2 4 4 4 3 3 3

bc ca ab P a b c       .

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn . O P là một điểm nằm trong tam giác sao

cho PB PC  . Lấy điểm Q trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC và nằm trong tam giác sao cho 90 PQA OAP    . Gọi M là trung điểm của BC. Điểm K thuộc cạnh BC sao cho KAB MAC   . Chứng minh rằng . QK QP 

Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các ước nguyên dương (phân biệt) của n có thể sắp xếp thành một bảng hình chữ nhật (mỗi vị trí chứa đúng một số) mà tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau; tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.

--------------- HẾT ---------------

https://toanmath.com/