Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2020 THPT thị xã Quảng Trị có đáp án

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng 6 năm 2020

Môn thi: Toán 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số

2 4 3 y x x    có đồ thị là ( ) P . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng : m d y x m   cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn

1 2

1 1 2. x x  

Câu 2 (4 điểm):

a. Giải bất phương trình:

2 2 ( 3 ) 2 3 1 0 x x x x    .

b. Giải hệ phương trình:

2 3 2

2 2

1

( ) 1

x x y xy xy y

x y xy

          

Câu 3 (4 điểm): Cho phương trình:

2 4 5 20 x x x x m        , (1), (với mlà tham số).

a. Giải phương trình (1) khi 3 m . b. Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (1) có nghiệm. Câu 4 (4 điểm):

a. Cho cot 3 , tính giá trị biểu thức: 3 3 2sin 3cos cos 4sin P        .

b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là 2 1 0 x y   . Biết phương trình đường thẳng BD là 7 14 0 x y    và đường thẳng AC đi qua điểm (2;1) M . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD .

Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm E thỏa mãn 3. 0 BE EC  .

Gọi I là giao điểm của AC và GE , tính tỉ số IA

IC .

Câu 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi bằng 20, góc

0 60 BAC  , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 3 . Gọi 1 1 1 , , A B C là hình chiếu vuông góc của , , A B C lên , , BC CA AB

và M là điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn ABM BCM CAM     . Tính cot và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 1 1 ABC . Câu 7 (2 điểm): Cho   x, ,z 2019;2020 y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2019.2020 2019.2020 2019.2020 ( , , ) ( ) ( ) ( ) xy yz zx f x y z x y z y z x z x y          .

-----------------HẾT---------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT (đối với môn Toán).

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề có 01 trang)

ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 – MÔN TOÁN Câu Lời giải Điểm

1) 2đ

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và dm:

2 4 3 x m x x    

2 5 3 0 x x m     (*) dm cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x 13 25 12 4 0 4 m m        . Khi đó

1 2

1 2

5 . 3

x x

x x m

      

Mà 1 2 1 2

1 2

1 1 1 2 2 5 6 2 2 x x x x m m x x           thỏa mãn

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2.a) 2đ

Giải bất phương trình:

2 2 ( 3 ) 2 3 1 0 x x x x    . (**)

Điều kiện:

2 1 2 3 1 0 1 x 2 x x x     

+ 1 1 x 2 x   nghiệm đúng.

+ 1 1 x 2 x   :

2 (**) 3 0 3 x 0 x x x       , thỏa mãn

Vậy (**) có nghiệm là: 1 3 x 0 1 x 2 x x     

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2.b) 2đ

Giải hệ phương trình:

2 3 2

2 2

1

( ) 1

x x y xy xy y

x y xy

          

2 2

2 2 xy( ) 1

( ) 1

x y xy x y

x y xy

          

. Đặt

2x y a xy b      

ta có hệ pt:

2 2

2 2 2 3 2 1 1 1

1 (1 ) 1 1 2 0

ab a b b a b a

a b a a a a a a a

                        

2

3 2 1 1 2 0 0 3 1 2 0

b a a a a b b b a a a

                         

+ 1

0

a

b

   

2 x 0 x 1 1

1 0 0 x y

y y xy

                  

+ 2 3 a b

   

2 x 1 2

3 3 x y

y xy

           

+ 0

1

a

b

   

2 x 1 0

1 1 x y

y xy

           

Vậy nghiệm của hệ là : (1 ; 1) ; (0 ; -1) ; (-1 ; 3) ; (1 ; 0) ; (-1; 0)

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

3a) 2đ

Khi m = 3 ta có pt:

2 4 5 20 3 x x x x       : đk:   4;5 x

Đặt

2 2 9 4 5 20 2 t x x t x x        

Pttt:

2

2 1( ) 9 3 2 3 0 3 2

t l t t t t t

          

0,5đ 0,5đ