3 Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 10 năm 2011 THPT Năng Khiếu có đáp án

đại học quốc gia tp.hcm trường phổthông năng khiếu

đềthi học kì I - khối 10 năm học 2011-2012 môn thi: TOÁN

——————

Thời gian làm bài: 90 phút ——————

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm m đểphương trình mx2 −4mx + 10m −12

x −2 = 4−5m có hai nghiệm thực phân

biệt.

b) Cho hệphương trình

( mx −(m + 1)y = −(2m + 1) (m + 1)x −y = m2 −1 . Tìm m đểhệphương trình

trên có nghiệm (x, y) thoảx2 + y2 = 1.

Câu 2 (2 điểm) Giải các phương trình sau

a) √x −1[(3x −4)4 −2(3x −4)2 −8] = 0.

b) (4x −1) √

x2 + 1 = 2x2 + 2x + 1.

Câu 3 (2 điểm) Tìm a, b sao cho đường thẳng x = 1 là trục đối xứng của paralbol (P) : y = x2 + ax + b và đỉnh S thuộc đường thẳng (d) : y = 2x −6.

Câu 4 (1 điểm) Chứng minh giá trịcủa biểu thức sau không phụthuộc vào x, y

A = 3

2 + 1

2[cos 2x + cos 2y + cos(2x + 2y)] −2 cos x cos y. cos(x + y).

Câu 5 (4 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(3, 3), B(−1, −5), C(6, −6).

a) Tìm toạđộtâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm điểm D sao cho tứgiác ABDC là hình bình hành.

c) Tìm điểm E thoảhệthức −→ CA −9−−→ CB −6−−→ CE = −→0 . Chứng minh BE vuông góc với AD.

d) Tìm điểm M thuộc đường thẳng x = 1 sao cho −−→ MA.−−→ MC + −−→ MB.−−→ MD = 24.

– HẾT –

www.facebook.com/nangkhieutoan 1 Vương Trung Dũng - Nguyễn Tăng Vũ

đại học quốc gia tp.hcm trường phổthông năng khiếu

đềthi học kì I - khối 10 năm học 2011-2012 môn thi: TOÁN ngày thi: thứba 15/12/2015

ĐÁP ÁN

Câu 1. a) • Điều kiên: x ̸= 2.

• Phương trình tương đương mx2 + (m −4)x −4 = 0 ⇔(x + 1)(mx −4) = 0.

• ⇔x = −1 (nhận) hoặc mx −4 = 0.

• Đểphương trình có hai nghiệm phân biệt thì

    

   

m ̸= 0 4 m ̸= 2 4 m ̸= −1

⇔

  

 

m ̸= 0 m ̸= 2 m ̸= −4.

b) • Đặt D = m2 + m + 1, Dx = m(m2 + m + 1), Dy = m3 + 2m2 + 2m + 1 = (m + 1)(m2 + m + 1).

• Ta có m2 + m + 1 = (m + 1 2)2 + 3

4 > 0∀m, nên hệphương trình luôn có nghiệm

duy nhất x = Dx

D = m, y = Dy

D = m + 1.

• Ta có x2 + y2 = 1 ⇔m2 + (m + 1)2 = 1 ⇔m = 0 hoặc m = −1.

Câu 2. a) • Điều kiện: x ≥1.

• Phương trình tương tương x = 1 hoặc (3x −4)4 −2(3x −4)2 −8 = 0 (1).

• (1) ⇔(3x −4)2 = 4 ⇔x = 2 hoặc x = 2 3 (loại).

• Vậy phương trình có nghiệm S = {1, 2}.

b) • Nhận thấy nếu x là nghiệm của phương trình thì x ≥1 4.

• Đặt t = √

x2 + 1. Phương trình trởthành: 2t2 −(4x −1)t + 2x −1 = 0

⇔(t −1

2)(t −2x + 1) = 0

⇔t = 1

2 hoặc t = 2x −1.

• Trường hợp t = 1 2 ⇔ √

x2 + 1 = 1

2 ⇔4x2 + 4x −1 = 0 ⇔x = −1 ± √

2 2 (loại).

• Trường hợp t = 2x −1 ⇔ √

x2 + 1 = 2x −1 ⇔

 

 x ≥1

2 3x2 −4x = 0 ⇔x = 4

3.

• Vậy phương trình có nghiệm S = {4 3}.

Câu 3. • (P) có trục đối xứng x = 1 suy ra −a 2 = 1 ⇔a = −2.

• Gọi S(x0, y0), suy ra x0 = 1.

• S ∈y = 2x −6, suy ra y0 = −4.

www.facebook.com/nangkhieutoan 2 Vương Trung Dũng - Nguyễn Tăng Vũ

• S ∈(P), suy ra −4 = 1 −2 + b ⇔b = −3. Vậy (P) : y = x2 −2x −3.

Câu 4. • A = 3 2 + 1

2[2 cos(x + y) cos(x −y) + 2 cos2(x + y) −1] −2 cos x cos y cos(x + y).

• A = 1 + cos(x + y)[cos(x −y) + cos(x + y) −2 cos x cos y]

• A = 1 + cos(x + y)(2 cos x cos y −2 cos x cos y) = 1

Câu 5. a) • Gọi I(x0, y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

•

( IA2 = IB2

IA2 = IC2 ⇔

( (x0 −3)2 + (y0 −3)2 = (x0 + 1)2 + (y0 + 5)2

(x0 −3)2 + (y0 −3)2 = (x0 −6)2 + (x0 + 6)2 ⇔

( x0 = 3 y0 = −2

• Vậy I(3; −2).

b) • Đặt D(xD, yD).

• −→ AB = (−4, −8), −−→ CD = (xD −6, yD + 6).

• ABDC là hình bình hành ⇔−→ AB = −−→ CD ⇔xD = 2, yD = −14.

• Vậy D(2, −14).

c) • Đặt E(xE, yE).

• −→ CA = (−3, 9), −−→ CB = (−7, 1), −−→ CE = (xE −6, yE + 6).

• −→ CA −9−−→ CB −6−−→ CE = −→0 ⇔xE = 16, yE = −6. Vậy E(16, −6).

• −−→ BE = (17, −1), −−→ AD = (−1, −17).

• −−→ BE.−−→ AD = 0 nên BE vuông góc với AD.

d) • Gọi M(1, yM).

• −−→ MA.−−→ MC + −−→ MB.−−→ MD = 24 ⇔y2 M + 11yM + 18 = 0 ⇔yM = −2 hoặc yM = −9.

• Vậy có hai điểm M1(1, −2) và M2(1, −9) thoảyêu cầu đềbài.

www.facebook.com/nangkhieutoan 3 Vương Trung Dũng - Nguyễn Tăng Vũ