Bài tập cân bằng tích trong giải phương trình môn Toán

Tác giả: Nguyễn Đại Dương

Tài liệu đặc biệt dành cho học sinh Lớp Toán luyện thi

Phương pháp cân bằng tích ứng dụng để giải một lớp các bài toán Phương Trình & Bất

Phương trình Vô tỷ.

Tài liệu bao gồm:

Cơ sở lí thuyết.

Phương pháp chung.

Các ví dụ.

Bài tập vận dụng.

Các em phải biết học toán là phát triển tư duy, dù cho phương pháp có hay và dễ sử dụng đến mức

nào nhưng người sử dụng không thể phát triển được nó thì cũng chỉ là học chay mà thôi. Hy vọng

các em có thể nắm bắt bản chất để phát triển thêm nữa phương pháp này.

Trong tài liệu tôi cố gắng sử dụng các ví dụ tiêu biểu cho từng bài toán riêng biệt, mỗi ví dụ là một

kinh nghiệm cũng như một bài học. Đọc hết tài liệu các em sẽ có một cái nhìn tổng quát và đầy đủ

về phương pháp này.

Hiển nhiên trong bất kì tài liệu nào cũng sẽ có những thiếu sót, mong các em góp ý để tài

liệu được hoàn thiện hơn cho các lứa học sinh sau.

Chúc các em học tốt!

Phương Pháp được nghiên cứu và phát triển dựa trên các kiến thức cơ bản và kinh nghiệm của

chính tác giả. Hiện vẫn chưa có bất kì tài liệu nào viết về phương pháp này. Mọi vấn đề sao chép

yêu cầu được thông qua ý kiến của tác giả.

http://megabook.vn/ 2

PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH

Cơ sở: Cho phương trình có dạng    n g x h x f x  . Với    , , f x g x h x là các đa thức.

Nếu phương trình có nghiệm o x x  là nghiệm của biểu thức   n f x A x  thì luôn tồn tại một phân

tích dạng:

        . n n g x h x f x A x f x B x   

Trong các bài toán ta xét thì :

 Bậc của căn là bậc 2 hoặc bậc 3.

 Đa thức   , f x h x và  g x có bậc bé hơn hoặc bằng 4.

 Đa thức  A x thường sẽ là một biểu thức bậc 1:  A x ax b   .

Phƣơng pháp :

Bƣớc 1 : Sử dụng Casio để tìm biểu thức  A x :

Nhập phương trình    n g x h x f x  vào máy bấm SHIFT SOLVE máy hiện Sovle for X nhập tùy ý

một giá trị X bấm =. Đợi máy hiện giá trị của X bấm SHIFT STO A để gán giá trị của nghiệm cho A.

Bấm MODE 7 máy hiện f(X) = nhập biểu thức  n f A AX  = máy hiện Start? Nhập -10 = máy hiện

End ? nhập 10 = máy hiện Step nhập 1 = , máy hiện một bảng với một bên là giá trị xủa X một bên là giá

trị của f(X), ta sẽ lấy giá trị mà tại đó X và f(X) là hai số nguyên (hoặc hữu tỉ).

Khi đó biểu thức cần tìm chính là    . A x X x f X   với X và f(X) là các giá trị nguyên đã chọn.

Bƣớc 2 : Cân bằng tích :

Ta sẽ cân bằng hai vế với các biểu thức  n f x ,  A x và    

n n f x f x  ,  n A x để đưa phương

trình về dạng:

      n n k x A x h x A x k x f x h x f x   

Trong đó      n g x k x A x f x h x A x       

Tùy vào biểu thức  g x mà ta sẽ lựa chọn  k x phù hợp để cân bằng. Thông thường thì  k x sẽ là hệ

số a, biểu thức bậc nhất ax b  , biểu thức bậc 2 2 ax bx c   hay phân thức m ax b  …

Chú ý : Biểu thức A(x) thông thường là bậc nhất nhưng cũng có thể là biểu thức bậc cao và ta phán đoán

A(x) dựa vào từng bài toán.

http://megabook.vn/ 3

Điều kiện : 2 x 

Nhập biểu thức: 2 2 2 X X   

Bấm SHIFT SOVLE 0 = máy hiện 0.6180339887 X  bấm SHIFT STO A máy hiện Ans A 

Bấm MODE 7 nhập   2 f X A AX    10 10 1   máy hiện bảng và ta thấy có giá trị nguyên

là   1, 1 X f X  . Khi đó ta suy ra  1 A x x   hay 2 1 x x   

Ta viết lại phương trình và đi cân bằng như sau:

Pt 2 2 2 x x    

Đầu tiên ta cân bằng cho 2 x  và 1 x :

  ... 1 ... 2 x x   

Khi đó VT còn thừa lại :   2 2 2 1 1 x x x x    

Ta tiếp tục cân bằng thêm 2 vế cho :

2 2 2 x x    và  

2 1 x  . Do biểu thức cân bằng có bậc 2 và bậc

của biểu thức còn thừa cũng là 2 nên ta cân bằng với hệ số a :

      2 1 1 2 2 a x x a x x        (*)

Khi đó để (*) tương đương với (1) thì     2 2 1 2 1 a x a x x x      , đồng nhất ta được 1 a 

Pt       2 1 1 2 2 x x x x        

   

      

  

2 2 1 1 2 0

2 1 2 1 1 2 0

2 1 2 1 2 0

2

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

     …