32 bài tập tọa độ phẳng có lời giải phần tứ giác Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng

Trang 49

TĐP 05: TỨ GIÁC Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là

CD, đường thẳng AD có phương trình d x y 1 :3 0   , đường thẳng BD có phương trình

d x y 2 : 2 0   , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.  D d d D O 1 2 (0;0)     . VTPT của đường thẳng AD và BD lần lượt là n1 (3; 1)   ,

n2 (1; 2)   . Ta có: ADB ADB 0 1 cos 45 2     AD = AB.

Vì BC AB 0 ( , ) 45  nên BCD 0 45   BCD vuông cân tại B  DC = 2AB.

ABCD

AB S AB CD AD

2 1 3. 24 ( ) 24 2 2       AB = 4  BD 4 2  .

Gọi B B B x B x d x 2 ; , 0 2       

. B B B x BD x x

2 2 8 10 4 2 2 5           

 B 8 10 4 10 ; 5 5

       

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với d2 Phương trình BC là: x y 2 4 10 0    . Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD). Biết

A(0; 2), D(–2; –2) và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình

d x y : 4 0    . Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang khi góc AOD 0 45  .

 I d I x x ( ;4 )    . AD IA x x 2 2 5; 2 4 4     ; ID x x 2 2 8 40   

Trong AID  có: IA ID AD AID IA ID

2 2 2

cos 2 .    x x

2 4     

+ Với x 2   IA = 2, ID = 4 2 ID ID IB IB .  

  B 2 2;2 2    ,   C 2 4 2;2 4 2  

+ Với x 4    B 4 3 2;2 2    ,   C 4 4 2; 2 2   .

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y 2 2 ( 1) ( 1) 2     và 2 điểm A(0; –4), B(4; 0). Tìm tọa độ 2 điểm C và D sao cho đường tròn (C) nội tiếp trong hình thang ABCD có đáy là AB và CD.

 C x y 2 2 ( ):( 1) ( 1) 2     có tâm I(1; 1)  và R 2  . PT cạnh AB: x y 4 0    . PT cạnh CD có dạng: x y c c 0; 4    

CD tiếp xúc với (C)  c d I CD R c 1 1 ( , ) 2 0 2

       PT cạnh CD: x y 0  

Nhận thấy các đường thẳng x x 0, 4   không phải là tiếp tuyến của (C). Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx y k 4 0 ( 1)     .

Ta có: d I AD R k k k k k 2 2 ( , ) 3 2( 1) 6 7 0 7           

 PT cạnh AD: x y 7 4 0     D 1 1 ; 2 2        

. PT cạnh BC: x y 7 4 0     C 1 1 ; 2 2      

.

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết

PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng

Trang 50

A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y x  . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

 Ta có: AB AB ( 1;2) 5    . Phương trình AB: x y 2 2 0    . I d y x I t t ( ): ( ; )    . I là trung điểm của AC và BD nên: C t t D t t (2 1;2 ), (2 ;2 2)  

Mặt khác: ABCD S AB CH . 4   (CH: chiều cao) CH 4

5   .

Ngoài ra: t t C D d C AB CH

t C D

4 5 8 8 2 6 4 4 ; , ; ( ; ) 3 3 3 3 3 5 5 0 ( 1;0), (0; 2)

                     

    

Vậy C D 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3            

hoặc C D ( 1;0), (0; 2)   .

Câu hỏi tương tự: a) Với ABCD S 4  , A(2; 0), B(3; 0), I AC BD   , I d y x :   .

ĐS: C D (3;4); (2;4) hoặc C D ( 5; 4); ( 6; 4)    . b) Với ABCD S 4  , A(0; 0), B(–1; 2), I AC BD   , I d y x : 1   .

ĐS: C(2; 0), D(3; –2) hoặc C 2 8 ; 3 3        

, D 1 14 ; 3 3       

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm

trên parabol (P): y x x 2 2 1   , tâm I nằm trên cung AB của (P). Tìm tọa độ hai đỉnh C, D sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

 I nằm trên cung AB của ( P) nên I a a a 2 ( ; 2 1)   với 0 < a <3. Do AB không đổi nên diện tích IAB lớn nhất khi d I AB ( , ) lớn nhất Phương trình AB: x y 1 0   .

d I AB ( , ) = a a a 2 2 1 1

2

   = a a 2 3

2

  = a a 2 3

2

  (do a (0;3))

d ( I, AB) đạt GTLN f a a a 2 ( ) 3   đạt GTLN a 3 2   I 3 1 ; 2 4      

Do I là trung điểm của AC và BD nên ta có C D 1 7 3; ; 0; 2 2              …