18 bài tập tọa độ phẳng có lời giải phần đường Conic Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng

Trang 22

TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2

1 25 16  . A, B là các điểm trên (E)

sao cho: AF BF 1 2 8   , với F F 1 2 , là các tiêu điểm. Tính AF BF 2 1  .

 1 AF AF a 2 2   và BF BF a 1 2 2    1 2 AF AF BF BF a 1 2 4 20     

Mà 1 AF BF2 8    2 AF BF1 12   Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm

F F 1 2 ( 1;1), (5;1)  và tâm sai e 0,6  .

 Giả sử M x y ( ; ) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c a e

3 5 0,6    nên ta có:

MF MF x y x y 2 2 2 2 1 2 10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10             x y 2 2 ( 2) ( 1) 1 25 16    

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): x y 2 2

1 4 1  . Tìm toạ độ

các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

 A B 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7

            

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2

1 100 25  . Tìm các điểm M  (E) sao

cho F MF 0 1 2 120  (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).

 Ta có: a b 10, 5    c 5 3  . Gọi M(x; y)  (E)  MF x MF x 1 2 3 3 10 , 10 2 2     .

F F MF MF MF MF F MF 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . .cos   

   x x x x

2 2 2 3 3 3 3 1 10 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2

                               

 x = 0 (y=  5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5).

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F F 1 2 ( 3;0); ( 3;0)  và đi qua điểm

A 1 3; 2      

. Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu

thức: P F M F M OM F M F M 2 2 2 1 2 1 2 –3 – .   .

 (E): x y

a b a b

2 2

2 2 2 2 3 1 1 1 4    , a b 2 2 3    x y 2 2

1 4 1  

 M M M M M P a ex a ex x y a e x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( – ) –2( ) –( ) 1      

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng

Trang 23

Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2 4 16 64   . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và

tới đường thẳng x 8 :

3   có giá trị không đổi.

 Ta có: F2( 12;0) . Gọi M x y E 0 0 ( ; ) ( )   x MF a ex 0 2 0

8 3 2     ,

x d M x 0 0

8 3 8 ( , )

3 3      (vì x0 4 4   )  MF d M

2 3 ( , ) 2  (không đổi).

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2 5 16 80   và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB.

 Phương trình đường thẳng (AB): x y 2 3 0    và AB 2 5 

Gọi M x y E x y 2 2 0 0 0 0 ( ; ) ( ) 5 16 80.     Ta có:

x y x y d M AB 0 0 0 0 2 3 2 3 ( ; )

1 4 5

      

Diện tích MAB: S AB d M AB x y 0 0 1. . ( ; ) 2 3 2    

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số x y 0 0 1 1 ; , ( 5 ; 4 ) 2 5

      

có:

  x y x y

2

2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 9 . 5 .4 5 16 .80 36 2 5 4 20 5

                 

x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9                

x y

x y x y x y x y

0 0 0 0

0 0

0 0

5 4

5 8 1 1 max 2 3 9 2 6 2 5

2 3 9



                      

x

y

0

0

8 3

5 3

   

  

Vậy, MAB S khi M 8 5 max 9 ; 3 3        

.

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp x y E

2 2 ( ): 1 9 4   và hai điểm A(3;–2), B(–3;

2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

 PT đường thẳng AB: x y 2 3 0   . Gọi C(x; y)  (E), với x y 0, 0    x y 2 2

1 9 4  .

ABC

x y S AB d C AB x y 1 85 85 . ( , ) 2 3 3. 2 13 3 2 2 13      x y 2 2 85 170 3 2 3 13 9 4 13

          

Dấu "=" xảy ra 

x y

x x y y

2 2

2 1 3 9 4 2 2 3 2

              

. Vậy C 3 2 ; 2 2

     .