Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình và hình phẳng oxy của thầy đặng việt hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( )

( ) ( )

2 1

4 1 6 2 1 7 1

x x y y x y y

x y x y y

 + − + = +   + + = + − + + 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( )

( )

3 2

3 2 2

1 2 2 1 9 33 29

4 4 4 4 1 2

x x y x y y y y

x x y x y

 + + + −+ −= − +  + + + = + + 

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC,

3 1 ; 2 2   −     N là điểm trên cạnh AC sao cho 1 4 = AN AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD

biết rằng đường thẳng DM có phương trình 1 0. −= x

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC

sao cho 2 AM AB = , đường tròn tâm ( ) 0;3 I đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết

đường thẳng CD: 3 13 0 x y + − = và đường thẳng BC đi qua điểm ( ) 7;14 K . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và

điểm C có hoành độ dương.

Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 2

2 2 2 3

 + − + = + −  + + = − 

x x xy y xy xy y

x y x x y

Lời giải: ĐK: 2 2 0; 0; 0; 0 x xy xy y x y − ≥ − ≥ ≥ ≥

Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 2 2 x x xy y xy xy y + − + = + −

( ) ( ) 2 2

2 2

0

1 1 0 0 x y x y x y x xy xy y

>

  ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =   − + −  

Thay x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 2 2 3 x y x x y + + = −

( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 0 ⇔ + + = − ⇔ + − + + = x x x x x x x x x

2 2 1 5 1 5 1 5 1 2 2 2 2 1; 2 4 4

   −±     −+ −+  + = =    = =     ⇔ ⇒ ⇒ ⇒         + =     = − = = =   

x x x x y x x x x x y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là( ) ( )

2 2 1 5 1 5 ; ; , 4;4 2 2

        −+ −+     =                   x y

Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

2

2

2 2 4 2

2 16 4

 − + + − + = +   − + = +  

x y y x y y

x y y x y

Lời giải:

Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 4 2 x y y x y y − + + − + = +

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)

Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

( )

2

0

1 1 2 0 2 2 4 2 2

>

  ⇔ − + = ⇔ =   − + + − + +  

x y x y x y x y y y

Thay 2 x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 4 2 x x x y + = +

2 4 4 2 x x x x ⇔ + = + 4 4 2 8 0 x x x x ⇔ + − + − =

Đặt 4 ( 0) t x t x = + > 2 2 2 0 0 ( )

=  ⇒ − = ⇔= 

t t t t loai

Với 2 4 2 2 4 4 0 2 1 t x x x x y x = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ) (2;1) x y = Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA

và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE BF = , gọi 12 29 ; 5 5 N      

là giao điểm của 2

đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng : 5 0 EF y − = và ( ) 3;4 B . Tìm tọa độ các đỉnh

của hình vuông ABCD.

Lời giải: Dễ thấy / / EF BD (vì cùng tạo với AB góc 0 45 ).

Khi đó: EF AC AF CE CB AB

⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ( do F là trực tâm )

Phương trình : 4 0 BD y − = , gọi ( ) ;4 I t ta có: IB IN = .

Khi đó: ( ) ( )

2 2 2 12 29 3 4 0 0;4 5 5 t t t I     − = − + − ⇔ = ⇒        

Từ đó suy ra ( ) 3;4 D − khi đó phương trình AC là : 0 x =

Gọi ( ) 0; A u ta có: ( ) ( ) ( )

2 1 0;1 . 0 9 4 0

7 0;7

u A AB AD u u A

= ⇒  = ⇔−+ − = ⇔= ⇒ 

Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại ( ) 0;7 A

Khi đó: ( ) ( ) 0;1 ; 0;7 A C . Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4 A B C D − là các điểm cần tìm.

Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

( )

( )

2 2 2 2 2 3 2 1

2 1

4 4 2 4 6 4 1

 − + + + = +  − −   + + − = + + 

y x y y x y y y

xy x y x x

Lời giải

ĐK : 1 1; ; 2 1 0 4 y x y y ≥ ≥− − −≠

Xét phương trình (1) ta có ( )

2 2 2 2 2 3 2 1

2 1

y x y y x y

y y

− + + + = +

− −

( )

2 2 2

2 2 2

2

0

2 2 1 2 1 0

2 2 0 2 0 2 1 1

x y y y x y

x y y x y y x x y

>

⇔ + − + + − −=

  ⇔ + − + = ⇒ + − = ⇔ = +   + …