Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương bằng phương pháp lượng giác hóa môn toán của thầy trần văn quân

Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa

Giải phương trình, hệphương trình bằng phương pháp

lượng giác hóa

Lời mởđầu: Đứng trước những bài phương trình, hệphương trình ta có rất nhiều hướng xửlí như nâng lũy thừa,đặt ẩn phụ, dùng hằng đăng thức,bất đẳng thức,... Tuy vậy không phải lúc nào ta cũng áp đặt một trong những phương pháp nêu trên đểgiải những bài phương trình,hệphương trình đó.Có những hệphương trình 3 ẩn mà hai phương trình,hoặc những hệphương trình có sốmũ rất lớn thì việc sửdụng các phương pháp thông thường sẽđưa ta đến ngõ cụt.Nhưng thật may mắn thay một số bài phương trình,hệphương trình lại có những điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng đến một sốcông thức lượng giác,từđó mà ta tìm được phép đặt lượng giác phù hợp.Chính vì vậy tôi viết lên chuyên đềGiải phương trình, hệphương trình bằng phương pháp lượng giác hóa đểgiúp các bạn yêu toán lại có thêm trong tay mình một phương pháp khá hay đểgiải quyết một sốbài toán vềphương trình, hệphương trình. Khảnăng hạn hẹp nên chuyên đềcủa tôi còn nhiều thiếu sót , rất mong ban đọc đóng góp và cho tôi ý kiến.Mọi thắc mắc xin liên hệqua hòm thư tranquan208@gmail.com.Rất cảm ơn các bạn đã quan tâm đến chuyên đềnày !!!

I.Một sốphép đặt lượng giác cơ bản 1.Nếux ∈[−a; a], a > 0 thì đặt

x = a cos α, α ∈[0; π] hoặc x = a sin β, β ∈[−π

2 ; π

2]

2.Nếu x ∈R thì đặt

x = tan t, t ∈ −π

2 ; π

2

3.Nếu x2 + y2 = a(a > 0) thì đặt

x = √a sin t, y = √a cos t, t ∈[0; 2π]

*Chú ý: Một sốđẳng thức lượng giác : 1 sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈R 2 sin 2x = 2 sin x cos x 3 cos 2x = cos2 x −sin2 x = 2 cos2 x −1 = 1 −2 sin2 x 4 Với α; β; γ ̸= π

2 + kπ, k ∈Z, ta có:

tan α + tan β + tan γ = tan α. tan β. tan γ ⇔α + β + γ = mπ(m ∈Z)

5 Với α; β; γ ̸= π

2 + kπ, ∈Z, ta có:

tan α. tan β + tan β. tan γ + tan γ. tan α = 1 ⇔α + β + γ = π

2 + nπ(n ∈Z)

Trang 1

Trần Văn Quân Giải PT-HPT bằng phương pháp lượng giác hóa

II.Ví dụ

Ví dụ1 : Giải phương trình:4x3 − √

1 −x2 −3x = 0

Giải: Điều kiện: 1 −x2 ⩾0 ⇔−1 ⩽x ⩽1 Với điều kiện đó ta đặt x = cos t, t ∈[o; π](∗) ,Phương trình đã cho trởthành: 4 cos3 t − √

1 −cos2 t −3 cos t = 0 ⇔cos 3t −sin t = 0 ⇔cos 3t = cos(π

2 −t)(**)

Giải phương trình(**) kết hợp (*) ⇒t = π

8 ; t = 5π

8 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = cos π

8 và x = cos 5π

8 □

Ví dụ2 :Giải phương trình : x =

r

2 + q

2 − √

2 + x

Giải: Điều kiện 0 < x ⩽2 Với điều kiện đó ta đặt x = 2 cos t, t ∈(π

2 ; π

2 )(*)

Ta được phương trình

2 cos t =

r

2 + q

2 − √

2 + cos t

⇔2 cos t =

s

2 +

r

2 −2 cos t

2

⇔2 cos t =

r

2 + 2 sin t

4 ⇔2 cos t = √

2(sin t

8 + cos t

8 ⇔sin(π

2 −t) = sin( t

8 + π

4 ) (**)

Giải (**) kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm phương trình là x = cos 2π

9 và x=cos −2π

7 □

Nhận xét: Qua 2 ví dụtrên ta dễdàng tìm được điều kiên của biến từđó suy ra cách đặt lượng giác phù hợp.Lượng giác có một ưu điểm là khửcăn bằng công thức hạbậc, điều này là lợi thếlớn khi giải phương trình vô tỷ. Bài tập tương tự: Giải phương trình: 4x3 + 2 √

1 −x2 −3x −1 = 0 Ví dụsau ta xét đến lợi thếcủa nó vềưu điểm khửcăn trong Đềthi Vô địch Quốc gia 1984

Trang 2