Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình bất phương trình và hệ phương trình của thầy huỳnh kim kha

PT-BPT-HPTmới và hiện đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha

Page2

1.  

2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 2 x x x x x       

(Trích Đề số 35 của ĐTN-Mathlinks)

Điều kiện: 1 1 x  

Đặt 2 2 1 ( , 0) 2 1

a x a b a b b x

       

  

Bất phương trình tương đương:  

2 3 3 2 1 1 2 a b x   

Ta có       

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 0 1 2 1 2 x x x x        

Mà

2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3( ) 2 3.2 2 1 3 ; 1 3 2 2 2 a b a a a b b b a b            

Dấu bằng xảy ra khi 0 x  .

1.

2 2 1

1 6 1 ( 1) 8 ( 1) 1

x y x x xy y x y

y x y x

                 

(Trích Đề số 34 của ĐTN-Mathlinks)

Điều kiện: 0; 0 x y  

Phương trình 1 tương đương:

2 2 6 1 1 1 xy y x x y x       

1 1 6 1 xy x y x      

1 (y 1) 6 ( 1) y x x y x

      

Phương trình 2 tương đương: 8 ( 1) ( 1) 1 y x x y y x

    

Đặt

( 1)

1 ( 1)

a x y

y x b y x

        

. Hệ phương trình tương đương :

2 6 4 8 4

2

a a b b

a a b b

                       

Với 2

4

a

b

   

x

y

   

Với 4

2

a

b

   

x

y

   

PT-BPT-HPTmới và hiện đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha

Page3

2.     2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4) x x x x         

(Trích Đề số 36 của ĐTN- Mathlinks)

Điều kiện xác định:   5;3 x

Xét hàm số: 2015 2015 2016 2016 ( ) (15 ) (9 ) f t t t       , 15;9 t 

Suy ra:

1 1 2016 2016 2015 '( ) ( 15) (9 ) 2016 f t t t

           

, '( ) 0 3 f t t  

… Suy ra hàm số ( ) f t đồng biến trên ( 15; 3)   ; nghịch biến trên ( 3;9)  .

Khi đó phương trình tương đương

    2015 2015 2015 2015 2016 2016 2016 2016 (3 15) (9 3 ) 15 ( 4) 9 ( 4) x x x x          (1)

Với:   5;1 x , phương trình (1) tương đương 3 4 x x   2 x   (thoả)

Với:   1;3 x , phương trình (1) tương đương 3 4 x x   2 x   (loại)

Vậy phương trình có nghiệm 2 x 

3.

4 3 2

2 2 1 2 1 2( 1) 2 x x x x x x x x           (Trích Đề số 32 của ĐTN-Mathlinks)

Phương trình tương đương

2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 1 2

1 1 4 1 2 2 2 2 4 2 1 1 2 2

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

       

               

Giải từng cái bằng cách quy đồng với bình phương

2

2 2 1 4 2 2 1 2 x x x x x x        

(1)

2

2 2 1 1 2 2 4 2 1 2 x x x x x x      

2

2 2 1 1 2 1 2 x x x x x x       

(2)

Cả 2 cái (1) và (2) đều đúng vì

2 2 2

2 2 ( 1) (1) ( 1) 0 ( 1)( 2) x x x x x x x         

2 4 2 (2) ( 1) ( 3 2) 0 x x x x     

Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 1 x  Vậy nghiệm của bất phương trình 1 x .

PT-BPT-HPTmới và hiện đạinhất dành cho kì thi THPT Quốc Gia2015.Huỳnh Kim Kha

Page4

4. 2 9 1 11 3 2 3 x x x x x      ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện : Phương trình tương đương:

   

2

2

2 2 3

3 2

2

9 1 11 3 2 3

9 1 2 3 11 3

9 1 15 3 12 9 2(2 3) 11 3

3 14 3 10 2(2 3) 11 3 0

11 3 1 11 3 3 2 11 3 7 0

10 11 3 1 0 3 2 11 3 3 0

3

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x x

    

    

        

       

        

       

      

Thay lại thấy thoả mãn .

5.     2

2 2 2 2 3

4 1 4 3

( 1) 2 1 6 17

x y x y y x

x y x x y

              

( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)

Điều kiện: 3 x  Phương trình 1 tương đương:

   

2 2

2 2 2

2

2

4 4 1 3 0

4 1 3 0

0 4 1 0

3 3 0

y x x y y x

x y y x

x x y

y x y x

      

       

                

Thay

2 3 y x   vào phương trình 2 ta được

 

3 3 2 2

3 3 3 3 2 2

2 2 1 6 1

( 1) ( 1) 6 1 6 1

x x x x x

x x x x x x

    

         

Xét hàm số

3 ( ) f t t t  , t R 

2 '( ) 3 1. f t t    Suy ra   3 2 ( 1) 6 1 f x f x x    

3 2 1 6 1 ( 3)( 1) 0 x x x x x x    …